Gravitação universal - Lei da gravitação universal

Gravitação universal - Lei da gravitação universal

Lei de Newton para a Gravitação

Na aula sobre as Leis de Newton, mencionamos que essas leis foram expostas num trabalho intitulado "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural". Nesse mesmo trabalho Newton mostrou que os movimentos dos planetas poderiam ser explicados supondo que entre dois corpos quaisquer existe um par de forças de atração (chamadas de atração gravitacional) pelo simples fato de os corpos terem massa.

Dadas duas partículas de massas mA e mB, separadas por uma distância d (Fig. 1), existe entre elas um par de forças de atração cujo módulo é dado por:

  (I)

onde G é uma constante, chamada constante de gravitação universal e cujo valor no SI é:

Exemplo 1

Duas partículas de massas mA = 6,0 kg e mB = 8,0 kg estão separadas por uma distância d = 2,0 m como ilustra a figura. Calcule a intensidade das forças de atração entre elas.

Resolução

Pela equação I temos:

Pelo exemplo acima vemos que, em geral, para corpos de massas "pequenas", as forças de atração gravitacional têm intensidades muito pequenas e assim em geral não as observamos. Nós só observamos essas forças quando o produto das massas é muito grande. é o caso por exemplo do Sol, da Lua e dos planetas.

A equação I só é válida para partículas isto é, para corpos de tamanhos desprezíveis. Quando temos corpos de tamanhos não desprezíveis, o cálculo é mais complexo e não o apresentaremos aqui. No entanto há um caso particular que mencionaremos. Newton demonstrou que, quando os corpos são esféricos e homogêneos (Fig. 2) podemos usar a equação I onde a distância d é a distância entre os centros dos corpos.

Exemplo 2

Um satélite artificial de massa m = 300 kg gira em torno da Terra, a uma altura de 1 600 km acima da superfície terrestre. Sabendo que a massa da Terra é M = 6,0 . 1024 kg e que o raio da Terra é , calcule a intensidade da força de atração entre a Terra e esse satélite .

Resolução

A distância d entre os centros da Terra e do satélite é dada por:

d = R + h

d = (6 400 km) + (1 600 km)

d = 8 000 km

d = 8,0 . 106 m

Supondo que a Terra seja esférica e homogênea, temos:

Órbitas Circulares

A partir da equação I, Newton conseguiu demonstrar as leis de Kepler. Essa demonstração envolve cálculos complexos e, assim, vamos aqui analisar o caso particular de um corpo de massa "pequena" girando em órbita circular em torno de um corpo de massa "grande" que pode ser considerado praticamente em repouso.

Na Fig. 3 representamos um corpo de massa "pequena" m girando em órbita circular de raio R em torno de um corpo de massa "muito grande" M. Nessa figura representamos apenas a força com que o corpo de massa M atrai o corpo de massa m.

Pela equação I temos:

Porém, para o corpo de massa m, a força faz o papel de uma força centrípeta. Assim:

Observando a equação II vemos que a velocidade do corpo de massa m não depende de sua massa. Qualquer corpo (de massa "pequena" em comparação com M) que estiver girando nessa órbita terá a mesma velocidade, independentemente de sua massa. É por isso que um astronauta, dentro de um satélite girando em torno da Terra, tem a impressão de que perdeu o peso. Isso acontece porque o astronauta e o satélite giram com a mesma velocidade na mesma órbita e, assim, o astronauta se sente flutuando dentro do satélite.

Calculemos agora o período do movimento. Como sabemos, o período (T) é o tempo para uma volta completa:

Elevando ao quadrado:

Desta equação tiramos:

A equação IV traduz a 3a lei de Kepler para o caso particular de trajetória circular pois o termo é uma constante, para qualquer corpo (de massa pequena em comparação com M) girando em torno do corpo de massa M.

Exemplo 3

Um satélite artificial gira em torno da Terra a uma altura h = 2 600 km acima da superfície da Terra. São dados:

Calcule:

a) a velocidade do satélite;

b) o período de translação do satélite.

Resolução

a) R = r + h

R = 6 400 km + 2 600 km

R = 9 000 km

R = 9,0 . 106 m

De acordo com a equação II deduzida na teoria, temos:

b) Para calcular o período podemos usar a equação III ou então lembrar da definição de período:

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