Aceleração Escalar Média - Movimento Uniformemente Variado (MUV)
Aceleração Escalar Média
Nas aulas anteriores fixamos nossa atenção em um movimento especial: o movimento uniforme, em que a velocidade escalar é constante. No entanto existem muitos movimentos em que a velocidade escalar não se mantém constante; quando isso acontece, dizemos que o movimento tem aceleração.
Suponhamos que num certo instante t1, um corpo tenha velocidade v1 e num instante posterior t2 tenha velocidade v2.
Dizemos que, nesse intervalo de tempo, a aceleração escalar média vale:
Exemplo 1
Um automóvel move-se sobre uma estrada de modo que ao meio dia (t1 = 12h) sua velocidade escalar é v1 = 60 km/h e às duas horas da tarde (t2 = 14h) sua velocidade escalar é v2 = 90 km/h.
Calcule a aceleração escalar média do automóvel nesse intervalo de tempo.
Resolução
O intervalo de tempo é:
= t2 - t1 = 14 h - 12 h = 2 h
Nesse intervalo de tempo, a variação da velocidade escalar é:
v = v2 - v1 = (90 km/h) - (60 km/h) = 30 km/h
Portanto, a aceleração escalar média é:
am = 15 km/h2
Dizemos assim:
A aceleração escalar média foi 15 quilômetros por hora ao quadrado.
Exemplo 2
No instante t1= 0 a velocidade escalar de um automóvel é v1 = 38 m/s e no instante t2 = 4 s a velocidade escalar é v2 = 26 m/s. Calcule a aceleração escalar média do automóvel nesse intervalo de tempo.
Resolução
am = -3 m/s2
A aceleração escalar média foi: -3 metros por segundo ao quadrado.
Unidades de aceleração
Pelos exemplos anteriores vemos que a unidade de aceleração é dada por:
isto é:
km/h2, m/s2, cm/s2, m/(min)2, etc.
Movimento Uniformemente Variado
Na Fig. 2 representamos algumas posições de um automóvel que move-se sobre uma estrada. Em cada posição está representado o valor da velocidade escalar.
Os valores da Fig. 2 foram transportados para tabela ao lado. Neste caso podemos perceber que, a cada segundo o aumento de velocidade é sempre o mesmo : 5 m/s. Dizemos então que a aceleração escalar é constante; em qualquer intervalo de tempo que considerarmos, obteremos a mesma aceleração escalar média. Se pegarmos, por exemplo, de t = 0 a t = 2 s teremos: |
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Peguemos outro intervalo de tempo:
Portanto, neste caso, a aceleração escalar é constante e vale:
a = 5 m/s2
Toda vez que um movimento tem aceleração escalar constante (e não nula), dizemos que o movimento é uniformemente variado (M.U.V.).
Observação
Num movimento uniforme, a velocidade escalar é constante e, portanto, a aceleração escalar é nula.
Movimentos acelerado e retardado
Quando um corpo move-se cada vez mais rápido, dizemos que o movimento é acelerado. Quando um corpo move-se de modo cada vez mais lento (isto é, está "brecando"), dizemos que o movimento é retardado.
Podemos dizer isso de outro modo:
Movimento acelerado o módulo da velocidade está aumentando
Movimento retardado o módulo da velocidade está diminuindo
Exemplo 3
Na tabela ao lado representamos as velocidades escalares de um corpo em função do tempo. a) o movimento é progressivo ou retrógrado? b) O movimento é acelerado ou retardado? c) Calcule a aceleração escalar desse movimento. |
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Resolução
a) Como as velocidades são positivas, o movimento é progressivo. Isto significa que o corpo move-se no sentido em que os espaços são crescentes, como ilustra a figura:
b) Observando a tabela, percebemos que o módulo da velocidade está aumentando:
2,5,8,11,14.
Portanto, o movimento é acelerado.
c) Podemos perceber que a velocidade escalar aumenta de modo regular:a cada segundo, o aumento de velocidade é de 3m/s. Assim não precisamos usar a fórmula para percebermos que a aceleração escalar é constante e vale: a = 3 m/s2 |
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Exemplo 4
Considere o movimento cujas velocidades escalares são dadas na tabela ao lado. a) O movimento é progressivo ou retrógrado? b) O movimento é acelerado ou retardado? c) Qual o valor da aceleração escalar? |
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Resolução
a) Como as velocidades escalares são positivas, o movimento é progressivo, isto é, o corpo move-se no sentido em que os espaços aumentam
b) Observando a tabela percebemos que o módulo da velocidade está diminuindo:
20,18,16,14,12,
isto é, o corpo em movimento é está "brecando". Portanto, o movimento é retardado.
c) Podemos perceber que a velocidade diminui de modo regular: a cada segundo, a diminuição de velocidade é sempre a mesma: 2m/s. Portanto, não precisamos usar a fórmula para percebermos que a aceleração escalar é constante e vale: a = - 2 m/s2 |
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Exemplo 5
Um automóvel move-se sobre uma estrada de modo que sua velocidade escalar em função do tempo é dada pela tabela ao lado: a) O movimento é progressivo ou retrógrado? b) O movimento é acelerado ou retardado? c) Calcule a aceleração escalar do movimento? |
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Resolução
a) O fato de as velocidades serem negativas significa que o automóvel move-se no sentido em que os espaços estão diminuindo; portanto, o movimento é retrógrado.
b) Observando a tabela percebemos que o módulo da velocidade está aumentando:
10,14,18,22,
isto é, o automóvel move-se de modo cada vez mais rápido. Portanto, o movimento é acelerado.
c) Do ponto de vista algébrico, para passar de -10 para -14 devemos subtrair 4: -10 - 4 = -14. Percebemos então que a aceleração escalar é: a = - 4 m/s2 |
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Exemplo 6
Em uma estrada, um automóvel move-se de modo que sua velocidade escalar em função do tempo é dada pela tabela ao lado. a) O movimento é progressivo ou retrógrado? b) O movimento é acelerado ou retardado? c) Qual a aceleração escalar dos movimento? |
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Resolução
a) Como as velocidades são negativas, o movimento é retrógrado, isto é, o automóvel move-se no sentido em que os espaços estão diminuindo.
b) O módulo da velocidade está diminuindo:
25,20,15,10,
isto é, o automóvel move-se de modo cada vez mais lento, está brecando. Portanto o movimento é retardado.
c) Do ponto de vista algébrico, para passar de -25 para -20, devemos somar 5: -25 + 5 = -20. Percebemos então que a aceleração escalar é: a = + 5 m/s2 |
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Vamos reunir em uma tabela, os resultados obtidos nos exemplos anteriores:
Sinal da velocidade
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Sinal da aceleração
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Classificação do movimento
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Exemplo 1
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v > 0
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a > 0
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acelerado
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Exemplo 2
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v > 0
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a < 0
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retardado
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Exemplo 3
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v < 0
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a < 0
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acelerado
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Exemplo 4
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v < 0
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a > 0
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retardado
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Percebemos então que:
1°) Num movimento acelerado, a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal: ou são positivas ou negativas. Podemos dizer isso de outro modo:
movimento acelerado a . v > 0
2°) Num movimento retardado, a velocidade e a aceleração têm sinais contrários. Podemos dizer isso de outro modo:
movimento retardado a . v < 0
Equação Horária da Velocidade
Consideremos um corpo em movimento uniformemente variado de modo que no instante t = 0 sua velocidade escalar é igual a v0 (velocidade inicial). Num instante posterior t sua velocidade é v.
Sendo a a aceleração escalar, temos:
Multiplicando em cruz a igualdade
obtemos:
v - v0 = at
ou: v = v0 + at
Esta última equação é chamada de equação horária da velocidade escalar. Ela nos dá a velocidade escalar v em função do tempo t.
Exemplo 7
Um automóvel move-se sobre uma estrada de modo que no instante t = 0 sua velocidade escalar é 7 m/s. Sabendo que a aceleração escalar é constante e igual a 4 m/s2, pede-se:
a) a equação horária da velocidade escalar
b) a velocidade escalar no instante t = 3 s.
Resolução
a) Temos : v0 = 7 m/s e a = 4 m/s2
Assim:
v = 7 + 4 t
c) Vamos substituir t por 3 s na equação da velocidade escalar:
t = 3 s v = 19 m/s
Equação Horária do Espaço
Consideremos um objeto com movimento uniformemente variado. No instante t = 0, sua velocidade escalar é v0 e seu espaço é s0 (espaço inicial). Num instante posterior t (qualquer) a velocidade escalar é v e os espaço é s.
Mais adiante demonstraremos que o espaço s pode ser obtido por meio da equação:
A qual é denominada equação horária do espaço.
Exemplo 8
Uma partícula move-se sobre um eixo com movimento uniformemente variado, cuja aceleração escalar é: a = 6,0 m/s2. Sabendo que no instante t = 0 o espaço é s0 = 7,0 m e a velocidade escalar é v0 = 8,0 m/s, calcule a velocidade escalar e o espaço no instante t = 3,0 s.
Resolução
v = v0 + at
t = 3,0 s v = 8,0 + 6,0 (3,0) = 8,0 + 18 = 26
v = 26 m/s
s = 58 m
Exemplo 9
Um automóvel move-se inicialmente com velocidade escalar constante v0 = 20 m/s. Num determinado instante começa a brecar de modo que sua aceleração escalar é constante e tem módulo dado por |a| = 4,0 m/s2.
a) Quanto tempo demora até parar?
b) Qual a distância percorrida durante a brecada?
Resolução
a) Como o movimento é retardado, se a velocidade é positiva, a aceleração deve ser negativa:
a = - 4,0 m/s2
A equação horária da velocidade escalar é:
v = v0 + at
v = 20 - 4,0 t
Quando o automóvel parar, teremos v = 0. Substituindo na equação acima:
t = 5,0 s
b) Façamos s0= 0
A equação horária do espaço é:
s = 20 t - 2,0 t2
Fazendo t = 5,0 s:
s = 20 (5,0) -2,0 (5,0)2
s = 100 - 50
s= 50 m
Equação de Torricelli
Em princípio, qualquer problema de movimento uniformemente variado pode ser resolvido usando as equações horárias da velocidade escalar e do espaço. No entanto há algumas situações em que podemos chegar mais rapidamente ao resultado, usando uma terceira equação, denominada equação de Torricelli.
Sendo v0 a velocidade escalar no ponto de espaço s0 e v a velocidade escalar no ponto de espaço s temos:
|
(Equação de Torricelli) |
Para demonstrar a validade dessa equação comecemos pela equação horária da velocidade escalar:
v = v0 + at t =
Vamos colocar esse valor do tempo, na equação horária do espaço:
Exemplo 10
Um corpo passa pelo ponto de espaço s0 = 30 m com velocidade escalar v0 = 5 m/s. Sabendo que o corpo tem aceleração escalar constante a = 4 m/s2, qual sua velocidade escalar ao passar pelo ponto de espaço s = 48 m?
Resolução
Aqui temos:
Usando a equação de Torricelli:
v2 = 25 + 144
v2 = 169
v = 13 m/s
Aulas relacionadas
Sumário
- Aceleração Escalar Médiai. Unidades de Aceleração
- Movimento Uniformemente Variado
i. Movimentos Acelerado e Retardado
- Equação Horária da Velocidade
- Equação Horária do Espaço
- Equação de Torricelli


