Aceleração Escalar Média - Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Aceleração Escalar Média - Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Aceleração Escalar Média

Nas aulas anteriores fixamos nossa atenção em um movimento especial: o movimento uniforme, em que a velocidade escalar é constante. No entanto existem muitos movimentos em que a velocidade escalar não se mantém constante; quando isso acontece, dizemos que o movimento tem aceleração.

Suponhamos que num certo instante t₁, um corpo tenha velocidade v₁ e num instante posterior t₂ tenha velocidade v₂.

Dizemos que, nesse intervalo de tempo, a aceleração escalar média vale:

Exemplo 1

Um automóvel move-se sobre uma estrada de modo que ao meio dia (t₁ = 12h) sua velocidade escalar é v₁ = 60 km/h e às duas horas da tarde (t₂ = 14h) sua velocidade escalar é v₂ = 90 km/h.

Calcule a aceleração escalar média do automóvel nesse intervalo de tempo.

Resolução

O intervalo de tempo é:

= t₂ - t₁ = 14 h - 12 h = 2 h

Nesse intervalo de tempo, a variação da velocidade escalar é:

v = v₂ - v₁ = (90 km/h) - (60 km/h) = 30 km/h

Portanto, a aceleração escalar média é:

a_m = 15 km/h²

Dizemos assim:

A aceleração escalar média foi 15 quilômetros por hora ao quadrado.

Exemplo 2

No instante t₁= 0 a velocidade escalar de um automóvel é v₁ = 38 m/s e no instante t₂ = 4 s a velocidade escalar é v₂ = 26 m/s. Calcule a aceleração escalar média do automóvel nesse intervalo de tempo.

Resolução

a_m = -3 m/s²

A aceleração escalar média foi: -3 metros por segundo ao quadrado.

Unidades de aceleração

Pelos exemplos anteriores vemos que a unidade de aceleração é dada por:

isto é:

km/h², m/s², cm/s², m/(min)², etc.

Movimento Uniformemente Variado

Na Fig. 2 representamos algumas posições de um automóvel que move-se sobre uma estrada. Em cada posição está representado o valor da velocidade escalar.

Peguemos outro intervalo de tempo:

Portanto, neste caso, a aceleração escalar é constante e vale:

a = 5 m/s²

Toda vez que um movimento tem aceleração escalar constante (e não nula), dizemos que o movimento é uniformemente variado (M.U.V.).

Observação

Num movimento uniforme, a velocidade escalar é constante e, portanto, a aceleração escalar é nula.

Movimentos acelerado e retardado

Quando um corpo move-se cada vez mais rápido, dizemos que o movimento é acelerado. Quando um corpo move-se de modo cada vez mais lento (isto é, está "brecando"), dizemos que o movimento é retardado.

Podemos dizer isso de outro modo:

Movimento acelerado o módulo da velocidade está aumentando

Movimento retardado o módulo da velocidade está diminuindo

Exemplo 3

Resolução

a) Como as velocidades são positivas, o movimento é progressivo. Isto significa que o corpo move-se no sentido em que os espaços são crescentes, como ilustra a figura:

b) Observando a tabela, percebemos que o módulo da velocidade está aumentando:

2,5,8,11,14.

Portanto, o movimento é acelerado.

c) Podemos perceber que a velocidade escalar aumenta de modo regular:a cada segundo, o aumento de velocidade é de 3m/s. Assim não precisamos usar a fórmula para percebermos que a aceleração escalar é constante e vale: a = 3 m/s2

Exemplo 4

Resolução

a) Como as velocidades escalares são positivas, o movimento é progressivo, isto é, o corpo move-se no sentido em que os espaços aumentam

b) Observando a tabela percebemos que o módulo da velocidade está diminuindo:

20,18,16,14,12,

isto é, o corpo em movimento é está "brecando". Portanto, o movimento é retardado.

c) Podemos perceber que a velocidade diminui de modo regular: a cada segundo, a diminuição de velocidade é sempre a mesma: 2m/s. Portanto, não precisamos usar a fórmula para percebermos que a aceleração escalar é constante e vale: a = - 2 m/s2

Exemplo 5

Resolução

a) O fato de as velocidades serem negativas significa que o automóvel move-se no sentido em que os espaços estão diminuindo; portanto, o movimento é retrógrado.

b) Observando a tabela percebemos que o módulo da velocidade está aumentando:

10,14,18,22,

isto é, o automóvel move-se de modo cada vez mais rápido. Portanto, o movimento é acelerado.

c) Do ponto de vista algébrico, para passar de -10 para -14 devemos subtrair 4: -10 - 4 = -14. Percebemos então que a aceleração escalar é: a = - 4 m/s2

Exemplo 6

Resolução

a) Como as velocidades são negativas, o movimento é retrógrado, isto é, o automóvel move-se no sentido em que os espaços estão diminuindo.

b) O módulo da velocidade está diminuindo:

25,20,15,10,

isto é, o automóvel move-se de modo cada vez mais lento, está brecando. Portanto o movimento é retardado.

c) Do ponto de vista algébrico, para passar de -25 para -20, devemos somar 5: -25 + 5 = -20. Percebemos então que a aceleração escalar é: a = + 5 m/s2

Vamos reunir em uma tabela, os resultados obtidos nos exemplos anteriores:

Percebemos então que:

1°) Num movimento acelerado, a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal: ou são positivas ou negativas. Podemos dizer isso de outro modo:

movimento acelerado a . v > 0

2°) Num movimento retardado, a velocidade e a aceleração têm sinais contrários. Podemos dizer isso de outro modo:

movimento retardado a . v < 0

Equação Horária da Velocidade

Consideremos um corpo em movimento uniformemente variado de modo que no instante t = 0 sua velocidade escalar é igual a v₀ (velocidade inicial). Num instante posterior t sua velocidade é v.

Sendo a a aceleração escalar, temos:

Multiplicando em cruz a igualdade

obtemos:

v - v₀ = at

ou: v = v₀ + at

Esta última equação é chamada de equação horária da velocidade escalar. Ela nos dá a velocidade escalar v em função do tempo t.

Exemplo 7

Um automóvel move-se sobre uma estrada de modo que no instante t = 0 sua velocidade escalar é 7 m/s. Sabendo que a aceleração escalar é constante e igual a 4 m/s², pede-se:

a) a equação horária da velocidade escalar

b) a velocidade escalar no instante t = 3 s.

Resolução

a) Temos : v₀ = 7 m/s e a = 4 m/s²

Assim:

v = 7 + 4 t

c) Vamos substituir t por 3 s na equação da velocidade escalar:

t = 3 s v = 19 m/s

Equação Horária do Espaço

Consideremos um objeto com movimento uniformemente variado. No instante t = 0, sua velocidade escalar é v₀ e seu espaço é s₀ (espaço inicial). Num instante posterior t (qualquer) a velocidade escalar é v e os espaço é s.

Mais adiante demonstraremos que o espaço s pode ser obtido por meio da equação:

A qual é denominada equação horária do espaço.

Exemplo 8

Uma partícula move-se sobre um eixo com movimento uniformemente variado, cuja aceleração escalar é: a = 6,0 m/s². Sabendo que no instante t = 0 o espaço é s₀ = 7,0 m e a velocidade escalar é v₀ = 8,0 m/s, calcule a velocidade escalar e o espaço no instante t = 3,0 s.

Resolução

v = v₀ + at

t = 3,0 s v = 8,0 + 6,0 (3,0) = 8,0 + 18 = 26

v = 26 m/s

s = 58 m

Exemplo 9

Um automóvel move-se inicialmente com velocidade escalar constante v₀ = 20 m/s. Num determinado instante começa a brecar de modo que sua aceleração escalar é constante e tem módulo dado por |a| = 4,0 m/s².

a) Quanto tempo demora até parar?

b) Qual a distância percorrida durante a brecada?

Resolução

a) Como o movimento é retardado, se a velocidade é positiva, a aceleração deve ser negativa:

a = - 4,0 m/s²

A equação horária da velocidade escalar é:

v = v₀ + at

v = 20 - 4,0 t

Quando o automóvel parar, teremos v = 0. Substituindo na equação acima:

t = 5,0 s

b) Façamos s₀= 0

A equação horária do espaço é:

s = 20 t - 2,0 t²

Fazendo t = 5,0 s:

s = 20 (5,0) -2,0 (5,0)²

s = 100 - 50

s= 50 m

Equação de Torricelli

Em princípio, qualquer problema de movimento uniformemente variado pode ser resolvido usando as equações horárias da velocidade escalar e do espaço. No entanto há algumas situações em que podemos chegar mais rapidamente ao resultado, usando uma terceira equação, denominada equação de Torricelli.

Sendo v₀ a velocidade escalar no ponto de espaço s₀ e v a velocidade escalar no ponto de espaço s temos:

v2 = +2 a (s- s0)

(Equação de Torricelli)

Para demonstrar a validade dessa equação comecemos pela equação horária da velocidade escalar:

v = v₀ + at t =

Vamos colocar esse valor do tempo, na equação horária do espaço:

Exemplo 10

Um corpo passa pelo ponto de espaço s₀ = 30 m com velocidade escalar v₀ = 5 m/s. Sabendo que o corpo tem aceleração escalar constante a = 4 m/s², qual sua velocidade escalar ao passar pelo ponto de espaço s = 48 m?

Resolução

Aqui temos:

Usando a equação de Torricelli:

v² = 25 + 144

v² = 169

v = 13 m/s

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