Progressão Aritmética e Geométrica

Progressão Aritmética e Geométrica

Sequência

É uma expressão do termo geral a_n em função de n (índice do termo da sequência).

A formula de recorrência fornece o 1º termo e expressa um termo qualquer a_n+1, em função do seu antecedente a_n.

Exemplos

     a₁ = 3

     a_n = 2 + a_n+1  {3, 5, 7, 9 ...}

Progressão Aritmética

Definição

É uma sequência onde somando uma constante r ( denominada razão ) a cada termo, obtém-se o termo seguinte.

Assim:

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r = a₁ + 3r

.
.
.
.
a_n = a₁ + ( n - 1 ) . r, que é conhecida como a Fórmula do Termo Geral.

Propriedades

( 1ª ) Cada termo, a partir do segundo, é média aritmética entre o termo que o precede e o termo que  o sucede.

( 2ª ) A soma de dois termos equidistante dos extremos é igual à soma dos extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que a soma dos termos de uma P.A. é dada por:

     S_n =  . n

Interpolação Aritmética

 A e C são os extremos da PA e k é o número de termos a ser interpolado.

Progressão Geométrica

Definição

É uma sequência onde multiplicando cada termo por uma constante q (denominada razão), obtém-se o termo seguinte.

Assim:

a₂ = a₁ . q

a₃ = a₂ . q = a₁ . q²

a₄ = a₃ . q = a₁ . q³
.
.
.

a_n = a₁ . q^n-1 que é a Fórmula do Termo Geral.

Propriedades

( 1ª ) Cada termo, a partir do segundo, é média geométrica entre o termo que o precede e o termo que o sucede.

( 2ª ) O produto de dois termos equidistante dos extremos é igual ao produto dos extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que o produto dos termos de uma P.G. é dado por:

 1.

Se q = 1 então s_n = n . a₁

( 4ª ) Se -1 < q < 1

e n tende a infinito, a_n tende a zero, e S_n a um número S chamado limite da soma obtido por S = .

Interpolação geométrica

onde B e A são os extremos da PG,

K = número de termos que se deseja interpolar.

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