Potências de Dez - Unidades - Volume

Potências - Unidades - Volume

POTÊNCIAS DE DEZ

Exemplos 1

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10^-1 = 1/10 = 0,1

10^-2 = 1/10² = 0,01

10^-3 = 1/10³ = 0,001

Exemplos 2

5,2 = 52 . 10^-1

7,38 = 738 . 10^-2

536000 = 536 . 1000 = 536 . 10³

10 . 4,28 = 42,8

100 . 5,4319 = 543,19

1000 . 7,21347 = 7213,47

47,3 . 10^-1 = 4,73

596,7 . 10^-2 = 5,967

0,00037 = 37/100000 = 37 . 10^-5

Exemplos 3

42,56 = 4,256 . 10¹ = 425,6 . 10¹ = 4256 . 10²

73,456 . 10^-2 = 734,56 . 10^-3 = 7,3456 . 10^-1

Exemplos 4

10² . 10³ = 10²⁺³ = 10⁵

10⁷ / 10³ = 10^7-3 = 10⁴

(10²)³ =10^2.3 = 10 ⁶

= 10^12/3 = 10⁴

= 10^8/2 = 10⁴

ORDEM DE GRANDEZA

A ordem de grandeza de um número é a potência de dez que está mais próxima desse número.

Exemplos 5

a) O número 340 está entre 10² e 10³ :

10² < 340 < 10³ ,

porém, ele está mais próximo de 10² do que de 10³. Assim, a ordem de grandeza de 340 é 10².

b) O número 720 também está entre 10² e 10³ :

10² < 720 < 10³ ,

mas ele está mais próximo de 10³ do que 10² . Assim, a ordem de grandeza de 720 é 10³.

c) A ordem de grandeza de 2,5 . 10^-7 é 10^-7.

d) A ordem de grandeza de 8,2 . 10^-7 é 10^-6.

Em problemas cuja pergunta é a "ordem de grandeza" de algum número, em geral não é necessário fazer os cálculos com muita precisão.

Podemos fazer aproximações, principalmente nos casos em que o problema é em forma de teste.

PREFIXOS

Alguns dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades, têm nomes especiais que são obtidos com o uso de prefixos. Na tabela a seguir, apresentamos os prefixos que devem ser decorados.

Além dos prefixos anteriores há outros que relacionamos a seguir apenas por curiosidade (não é necessário decorar):

Exemplos 6

4MN = 4 meganewtons = 4.10⁶ N

5 ms = 5 milissegundos = 5.10^-3 s

8 km = 8 quilômetros = 8.10³ m

3 pm = 3 picometros = 3.10^-12 m

Quando usamos os prefixos, em geral mantemos a sílaba tônica da unidade.

Assim, por exemplo, temos:

nanometro (pronúncia: nanométro)

picometro (pronúncia: picométro)

No entanto, por tradição, há algumas exceções: milímetro, centímetro, decímetro, decâmetro, hectômetro, quilômetro.

UNIDADES DE TEMPO

1 h = 3600s

Observações:

1ª) Sabe-se que: 1 ano = 365d 5h 48min 46s.

No entanto, na maioria dos problemas podemos usar a aproximação:

1 ano 360 d

2ª) Devemos tomar cuidado para não confundirmos o minuto "unidade de tempo" com o minuto "unidade de medida de ângulo".

O mesmo cuidado deve ser tomado com relação ao "segundo". Assim, se quisermos representar 3 horas, 20 minutos e 15 segundos, devemos escrever 3h20min15s e não 3h 20'15".

UNIDADES DE COMPRIMENTO

1 = 10^-10 m

ÁREA

As unidades de área são, em geral, unidades de comprimento elevadas ao quadrado.

Por exemplo:

m², cm², km², ².

Apresentamos a seguir as fórmulas para calcular as áreas das principais figuras planas.

PARALELOGRAMO

RETÂNGULO

QUADRADO

TRAPÉZIO

TRIÂNGULO

CÍRCULO

A = πR² onde π ≅ 3,1416

Exemplos 7

a) Um retângulo tem seus lados medindo 4 m e 12 m.

Sua área é :

A = 4 (12) = 48 m²

b) Consideramos um círculo de raio R = 2 cm. Sua área é:

 

A = πR² = π(2)² = 4π cm²

lembrando que: π ≅ 3,14 temos:

A = 4π ≅ 4(3,14)π

Isto é: A ≅ 12,56 cm²

c) Vamos transformar 1 m² em cm².

Temos: 1 m = 10² cm

Assim:

1m² = (10² cm)² = 10⁴ cm²

d) Transformemos 1 cm² em m². Temos: 1 cm = 10^-2 m

Assim:

1cm² = (10^-2 m)² = 10^-4 m²

e) Transformemos 7 cm² em m².

Temos: 7 cm² = 7 (10^-2 m)² = 7 . 10^-4 m²

UNIDADES DE VOLUME

As unidades de volume são, em geral, unidades de comprimento elevadas ao cubo.

Por exemplo:

m³, dm³, cm³, mm³.

Mas há uma outra unidade muito importante que é o litro (símbolo: l):

1 l = 1dm³ = 10³ cm³

Isto é:

1 ml = 1 cm³

A título excepcional foram adotados os símbolos l (letra "ele" minúscula) e L (letra "ele" maiúscula) como símbolos utilizados para o litro. O símbolo L será empregado sempre que as máquinas de impressão não apresentarem distinção entre o algarismo um e a letra "ele" minúscula e que tal coincidência acarrete possibilidade de confusão.

VOLUMES DO PRISMA E DO CILINDRO

VOLUME DA ESFERA

Exemplos 8

a) O cubo é um caso particular de prisma. Sendo a a medida de cada aresta, a área da base é:

A = a . a = a²

A altura h do cubo é igual à medida da aresta a : h = a.

Assim, o volume do cubo é:

V = Ah = a² . a = a³

V = a³

b) Um cubo de aresta a = 2 cm tem volume:

V = a³ = (2 cm)³ = 8 cm³

c) A figura abaixo representa um prisma reto de altura h = 4 m e que tem por base um retângulo cujos lados medem 3 m e 2 m. A área da base desse prisma é:

A = 3(2) = 6 m²

O volume do prisma é:

V = A . h = 6(4) = 24 m³

d) A figura abaixo representa um cilindro reto de altura h = 5 m e cuja base é um círculo de raio R = 3 m. A área da base desse cilindro é:

A = π R² = π (3)² = 9π m²

O volume desse cilindro é:

V = Ah = (9π )(5) = 45π m³

e) Consideremos uma esfera de raio R = 2 m. O seu volume é:

Se fizermos π ≅ 3,14 teremos:

Transformemos 1m³ em dm³. Sabemos que 1 m = 10 dm

Assim:

1m³ = (10 dm)³ = 10³ dm³

g) Vamos transformar 1m³ em litros. Por definição, temos:

1L = 1 dm³

Assim, aproveitando o exemplo anterior vem:

1dm³ = 10³dm³ = 10³ L

Convém decorar este resultado.

1m³ = 10³ L

Vamos transformar 1 cm³ em m³ . Sabemos que 1 cm = 10^-2 m

Assim:

1 cm³ = (10^-2m)³ = 10^-6m³

8 cm³ = 8(10^-2 m)³ = 8.10^-6m³

VAZÃO

Consideremos uma "fonte" jorrando um líquido. A vazão (Ø) da fonte é o volume de líquido jorrado por unidade de tempo:

MASSA

As principais unidades de massa são:

DENSIDADE E MASSA ESPECÍFICA

Dado um corpo de massa m e volume V, sua densidade d (ou "densidade absoluta") é definida por:

Se o corpo for maciço e constituído por um único material, a densidade do corpo poderá ser chamada de "massa específica do material"

A unidade densidade é o quociente de uma unidade de massa por uma unidade de volume.

Por exemplo:

Kg/m³ (ou Kg . m^-3 )

g/cm³ ( ou g . cm^-3 )

Kg/L ( ou Kg . L^-1 )

Temos a seguir uma tabela com algumas densidades (só é necessário decorar a da água):

Observe que a densidade média do corpo humano é pouco maior que a da água.

DENSIDADE RELATIVA

Considerando duas substâncias A e B de densidades absolutas d_A e d_B. Chamamos de "densidade de A em relação a B" ao quociente d_A/d_B:

Para o caso de sólidos e líquidos, em geral toma-se como referência (a substância B) a água (a 4º C e sob pressão normal).

Observe que a densidade relativa não tem unidade.

Exemplos 9

a) Um corpo de massa m = 60 Kg tem volume

V = 3 m³. Calculemos sua densidade:

b) Consideremos um volume de 0,5 m³ de mercúrio. Sabendo que sua densidade é d = 13,6 g/cm³ , vamos calcular a massa dessa quantidade de mercúrio. Porém, antes precisamos "acertar" as unidades (o volume aparece em m³ enquanto na densidade temos cm³ ). Temos:

V = 0,5m³ = 0,5 (10² cm)³ = 0,5 (10⁶ cm³) = 5. 10⁵ cm³

m = d . V = (13,6) (5 . 10⁵) = 68 . 10⁵ gramas

c) Vamos calcular a massa de uma quantidade de água cujo volume é 1 litro (a 4ºC e sob pressão normal).

Temos:

V = 1 L = 10³ cm³

d = 1 g/ cm³

Assim:

m = d . v = (1) (10³) = 10³ gramas = 1 Kg

Este exemplo serve para tirarmos um resultado importante:

1 g/cm³ = 1 Kg/L

Para o caso da água, cuja densidade é 1 g/cm³, temos (a 4ºC e sob pressão normal):

1 cm³ de água tem massa 1 g

1 litro de água tem massa 1 Kg

Estabeleça a relação entre g / cm³ e kg / L.

Assim:

1 kg = 10³ g e 1 L = 10³ cm³

Assim:

1 kg / L = 1 g / cm³