Movimentos de translação

Na Fig. 1 representamos uma partícula P cuja velocidade em relação a um referencial R₁é . O referencial R_1, por sua vez, tem uma velocidade em relação ao referencial R₁.

A velocidade de P em relação a R₂ é dada por (Fig. 2):

Exemplo 1

Sobre um rio há duas pontes cuja distância é d = 2000m. A velocidade do rio em relação às margens () tem módulo v_RM = 4,0 m/s. Um barco, cuja a velocidade em relação ao rio tem módulo v_BR = 6,0 m/s, parte de um ponto situado sob uma das pontes, sobe o rio até atingir a outra ponte e em seguida desce o rio até voltar ao ponto sob a primeira ponte. Calcule:

a) o tempo de subida
b) o tempo de descida

Resolução

       

a) "Subir o rio" significa ir contra a correnteza (Fig. a). A velocidade do barco em relação às margens é dada por (Fig. b):

Em módulos temos:

b) "Descer o rio" significa ir a favor da correnteza (Fig. c). A velocidade do barco em relação à margem ( ) é dada por (Fig. d):

Em módulos temos:

Exemplo 2

Um rio retilíneo tem margens paralelas sendo a largura do rio dada por d = 200 m. A velocidade do rio em relação às margens tem módulo dado por . Um barco sai de um ponto X situado numa das margens e dirige-se à outra margem, mantendo seu eixo perpendicular às margens e com velocidade em relação ao rio, cujo módulo é . Sendo y o ponto atingido pelo barco na margem oposta, determine:

a) a velocidade do barco em relação às margens;

b) o tempo de travessia;

c) o deslocamento rio abaixo; e

d) a distância entre os pontos X e Y.

Resolução

a) Um observador fixo na margem vê o barco mover-se com velocidade como ilustra a figura ao lado:

Em módulos temos:

Portanto :

b) A velocidade do rio não afeta o tempo da travessia o qual pode ser calculado por:

c) Se não houvesse a correnteza o barco atingiria o ponto Z. A distância entre os pontos Z e Y pode ser calculada por:

d) Podemos calcular a distância de dois modos. Um deles é aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo X Z Y :

Assim:

Um outro modo é:

Exemplo 3

Um rio retilíneo tem suas margens paralelas e separadas por uma distância d = 180m. A velocidade do rio em relação às margens tem módulo dado por . Um barco, cuja a velocidade em relação ao rio tem módulo , parte de um ponto X em uma das margens e atinge um ponto Y na outra margem, de modo que o segmento XY é perpendicular às margens, como ilustra a figura. Determine:

a) a velocidade do barco em relação às

b) o tempo de travessia.

Resolução

a) Para que o barco atinja o ponto y, sua velocidade em relação às margens () deve ser perpendicular a elas como indica a figura. Para que isso ocorra, a velocidade do barco em relação ao rio () deve ter direção inclinada em relação à correnteza, isto é, o eixo do barco deve ter a direção do vetor  representado na figura.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo sombreado temos:

Daí tiramos:

O ângulo pode ser dado por:

b)

Consideremos o caso de uma roda que rola sem escorregar, sobre uma superfície plana S como ilustra a Fig. 3. É o caso, por exemplo, das rodas de um automóvel em movimento, desde que as rodas não derrapem. Esse movimento pode ser considerado como resultado da composição de dois movimentos:

I ) movimento de rotação em torno do centro C (Fig.4)

II ) movimento de translação com velocidade (Fig. 5)

Para um observador fixo em relação à superfície S, a velocidade de cada ponto pode ser obtida pela superposição das figuras 4 e 5, resultando na situação representada na Fig. 6, onde assinalamos as velocidades dos pontos X, Y, Z e W. Observe que a velocidade do ponto X é nula, o que já era de se esperar, pois estamos supondo que a roda role sem escorregar. Temos então: