Hidrostática

HIDROSTÁTICA

Estudaremos neste capítulo a mecânica dos fluidos em repouso. Um fluido pode ser um líquido ou um gás. Como os primeiros estudos foram feitos com a água, que em grego é “hydor”, esse estudo ficou chamado de hidrostática, embora o nome mais adequado seja fluidostática.

As leis que explicam o comportamento mecânico dos fluidos utilizam dois conceitos: densidade e pressão. Assim, começaremos definindo-os.

DENSIDADE E MASSA ESPECÍFICA

Dado um corpo de massa m e que ocupa um volume V , sua densidade é definida por:

No Sistema Internacional, a unidade de densidade é kg/m³. Porém, frequentemente são usadas outras unidades como, por exemplo, g/cm³, valendo:

Se o corpo for maciço e constituído por uma única substância, a densidade pode ser chamada de massa específica da substância. Na tabela abaixo damos alguns valores de densidade:

Exemplo 1

Um corpo de densidade d = 4,0g/cm³ ocupa volume de 80cm³. Calcule a massa desse corpo.

Resolução

m = 320g

Exemplo 2

Transforme 1g/cm³ em kg/m³

Resolução:

Assim:

Sendo d_A e d_B as densidades de dois corpos, a densidade de A em relação a B é definida por:

PRESSÃO

Suponhamos que sobre uma superfície plana, de área A, atuem forças perpendiculares cuja resultante é (Fig. 1). A pressão média sobre essa superfície é definida por:

No Sistema Internacional, a unidade de pressão é o pascal (Pa).

A pressão em um ponto é definida pelo limite da expressão anterior quando a área tende a zero:

Se a força se distribui uniformemente pela superfície, a pressão é a mesma em todos os pontos e coincide com a pressão média.

Exemplo 3

Numa região em que g = 10m/s², uma pessoa de massa m = 60kg, está apoiada sobre os dois pés. Supondo que a área de contato com o solo seja 150 cm² para cada pé, calcule a pressão média exercida pela pessoa sobre o solo.

Resolução:

Sabemos que 1cm = 10^-2 m. Portanto: 1cm² = 10^-4 m². Assim, a área de contato com o solo é:

A = 2 (150 cm²) = 300 cm² = 300 . 10^-4 m² = 3,0 . 10^-2 m²

A força exercida sobre o solo é igual ao peso da pessoa:

Portanto:

LEI DE STEVIN

Consideremos um líquido homogêneo, cuja densidade é d, em equilíbrio sob a ação da gravidade, sendo   a aceleração da gravidade. Sendo p_A a pressão em um ponto A (Fig. 2) e p_B a pressão em um ponto B, temos:

p_B = p_A + dgh

onde h é o desnível entre os dois pontos.

Exemplo 4

Na figura abaixo representamos um ponto B situado a uma profundidade h = 3,0 metros em uma piscina contendo água de densidade d = 1,0 . 10³ kg/m³. Sabe-se que a pressão atmosférica vale 1,0 . 10⁵ N/m². Sendo g = 10 m/s² calcule a pressão no ponto B.

Resolução

Sendo A um ponto da superfície da água, a pressão nesse ponto é a pressão exercida pela atmosfera:

P_A = P_atm = 1,0 . 10⁵ N/m^2.

Assim, pela Lei de Stevin, temos:

P_B = P_A + dgh = ( 1,0 . 10⁵) + (1,0 . 10³) (10) (3,0) =

=( 1,0 . 10⁵) + (3,0 . 10⁴) =

=( 1,0 . 10⁵) + (0,3 . 10⁵) = 1,3 . 10⁵

PRESSÃO ATMOSFÉRICA

O primeiro a medir a pressão atmosférica foi o matemático e físico italiano Evangelista Torricelli (1608 – 1647). Ele encheu com mercúrio um tubo de vidro de comprimento aproximadamente igual a 1 metro e tampou-o (Fig. 3a). Em seguida ele inverteu o tubo, mergulhando-o em um recipiente que também continha mercúrio (Fig. 3b). Ao destampar o tubo (Fig. 3c) a coluna de mercúrio desceu um pouco estabilizando-se numa altura que, ao nível do mar, era 76cm.

Acima do ponto A há praticamente vácuo (na realidade há um pouco de vapor de mercúrio, mas sua pressão pode ser desprezada) e assim, no ponto A a pressão é nula: P_A = 0. A pressão no ponto B é a pressão atmosférica. Aplicando a Lei de Stevin, temos:

Para o mercúrio temos d ≅ 13,6 . 10³ kg/m³, sendo h = 76 cm = 0,76 m e supondo g ≅ 9,8 m/s², temos:

Assim, ao nível do mar temos:

Essa é a pressão ao nível do mar. À medida que nos afastamos da superfície da Terra essa pressão vai diminuindo.

Unidades de Pressão

A partir do experimento de Torricelli são definidas outras unidades de pressão:

VASOS COMUNICANTES

Na Fig. 5 representamos um tubo em forma de ( U ) contendo dois líquidos imiscíveis (que não se misturam). A e B, em equilíbrio, sob a ação da gravidade. As pressões nos pontos x e y podem ser calculadas pela Lei de Stevin.

Como os pontos x e y pertencem a um mesmo líquido e estão no mesmo nível temos p_x = p_y. Assim:

Se tivermos apenas um líquido (Fig. 6) este deverá apresentar o mesmo nível nos dois lados, qualquer que seja a forma do tubo.

PRINCÍPIO DE PASCAL

O matemático e físico francês Blaise Pascal (1623 – 1662) estabeleceu o seguinte princípio:

Como aplicação desse princípio temos o mecanismo hidráulico empregado em elevadores de automóveis nos postos de gasolina (Fig.7).

Uma força de intensidade F₁ aplicada em um pequeno pistão de área A₁, produz uma pressão p que é aplicada no pistão de área A₂, que sustenta o automóvel.

Como  , teremos  . Desse modo, aplicando-se uma força de “pequena” intensidade no pistão menor, obteremos uma força de ”grande” intensidade no pistão maior.

PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

Quando um corpo está total (Fig. 8b) ou parcialmente (Fig. 8a) imerso em um fluido em equilíbrio, este exerce sobre o corpo uma força , denominada empuxo, que tem as seguintes características:

Por fluido deslocado, entendemos o fluido que preenche o volume ocupado pelo corpo, abaixo da superfície livre do fluido.

No caso da Fig. 8a o volume deslocado é o volume da região hachurada. No caso da Fig. 8b o volume deslocado é o próprio volume do corpo.

Sendo d_F a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e V_F o volume de fluido deslocado, temos:

E = p_F = m_F . g = (d_F . V_F) . g

O primeiro a conseguir calcular o empuxo foi o físico e matemático grego Arquimedes (298 a.C. – 212 a.C.)

Quando abandonamos um corpo totalmente submerso em um fluido (Fig.8b) temos:

Portanto:

Exemplo 5

Um corpo de volume V_c = 0,60 m³ flutua na água de modo que a parte submersa tem volume 0,45 m³. Sendo a densidade da água igual a 1,0 g/cm³, calcule a densidade do corpo.

Resolução

O volume deslocado é igual ao volume da parte submersa.

V_F = 0,45 m³

O empuxo ( ) tem intensidade dada por

E = d_F . V_F . g

Onde d_F é a densidade do líquido que neste caso é a água.

O peso do corpo tem intensidade dada por:

p_c = d_c . V_c g

Como o corpo está em equilíbrio temos:

P_c = E ⇒  d_c .V_c. g = d_F .V_F . g

d_c . V_c = d_F . V_F

d_c (0,60) = (1,0) (0,45)

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