Grandezas Vetoriais

Grandezas Vetoriais

Grandezas Escalares e Vetoriais

Há algumas grandezas que para ficarem caracterizadas necessitam apenas de um número (e, naturalmente, a unidade usada). É o caso, por exemplo, da temperatura, da massa, etc. Essas grandezas são chamadas escalares. Porém há outras grandezas que necessitam de uma informação adicional que nos dá a direção e o sentido da grandeza. É o caso, por exemplo, da força. Quando aplicamos uma força a um corpo (Fig.1), além do valor da força, desenhamos um segmento orientado para dizer "para que lado" atua a força. As grandezas que necessitam dessa informação geométrica são denominadas grandezas vetoriais e os segmentos orientados usados para representá-las são denominados vetores. Para representar um vetor usamos uma letra com uma pequena flecha em cima, como indicado na Fig.1.

Nos casos mais elementares analisados até agora, a velocidade e a aceleração foram tratadas como grandezas escalares. No entanto elas são grandezas vetoriais e assim devem ser consideradas, em casos mais complexos, como veremos mais tarde.

Quando dois vetores são paralelos dizemos que eles têm a mesma direção. Se, além disso, eles apontarem para o "mesmo lado", dizemos que têm o mesmo sentido; se apontarem para "lados opostos" dizemos que têm sentidos opostos.

Suponhamos, por exemplo, o caso da Fig.2 onde as retas r, s e t são paralelas.

Podemos dizer que:

• os vetores e têm direções diferentes;
• os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido;
• os vetores e têm a mesma direção mas sentidos opostos.
• os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido; e
• os vetores e têm a mesma direção mas sentidos opostos.

O "tamanho" do vetor é proporcional ao valor da grandeza que está representando e esse valor, considerado positivo (ou nulo), é chamado módulo do vetor. Para representar o módulo de um vetor usamos a notação | | .

Quando uma grandeza tem o valor nulo, o vetor que a representa é o vetor nulo; representado por e cujo módulo é nulo.

Dizemos que dois vetores são iguais quando, e somente quando, têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo.

Adição de Vetores

Na Fig. 3 representamos dois vetores não nulos e . Para obtermos a soma ( ) dos vetores podemos efetuar uma translação em um dos vetores ( Fig. 4 ) de modo que a extremidade do primeiro coincida com a origem do segundo. O vetor soma é obtido ligando-se a origem do primeiro à extremidade do segundo.

Para obtermos o módulo de usamos a lei dos cossenos:

| s |² = | |² + | |² - 2 | | . | | . cos θ

Quando os vetores têm a mesma direção, temos uma situação mais simples, como ilustra a Fig. 5.

Se tivermos mais de dois vetores podemos usar o mesmo procedimento, como ilustra a Fig. 6.

O modo de obter a soma de vetores que acabamos de descrever é conhecido como regra do polígono. Há, porém, um outro modo, que veremos adiante, conhecido como regra do paralelogramo.

Regra do Paralelogramo

Na Fig.7 representamos dois vetores e .Para obtermos sua soma pela regra do paralelogramo transladamos um dos vetores de modo que tenham a mesma origem (Fig. 8). A seguir desenhamos o segmento paralelo ao vetor e o segmento paralelo ao vetor , obtendo o paralelogramo XYZK. O segmento orientado ( diagonal do paralelogramo) representa a soma dos vetores.

            

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo XYZ temos:

| | ² = | |² + | |² - 2 | | . | | . cos θ

Como e são suplementares, temos cos θ= -cos α. Assim , a equação acima pode ser escrita:

| |² = | |² + | |² + 2 | | . | | . cos α

Exemplo 1

Para os vetores representados na figura abaixo temos:

| | = 6

Determine o módulo da soma desses vetores.

Resolução

| |² = | |²+ | |² + 2 | | . | | . cos 60º

Lembrando que cos 60º =

| |² = 4² + 6² + 2 ( 4 ) ( 6 ) ( )

| |² = 16 + 36 + 24

| |² = 76

| | = = = 2 8,7

A soma de dois vetores é também chamada de resultante dos dois vetores.

Oposto de um vetor

Dado um vetor não nulo , o seu oposto é representado por -, e tem as seguintes características (Fig. 9):

• mesma direção de
• mesmo módulo de
• sentido oposto ao de

O oposto do vetor nulo é ele mesmo:

- =

Subtração de vetores

Dados dois vetores e , a diferença entre  e  é indicada por:

= -

e é definida do seguinte modo:

= - = + ( - )

isto é, a diferença entre e é igual à soma de com o oposto de .

Exemplo 2

Para os vetores representados abaixo, determine o vetor tal que = -

Resolução

Por definição temos:

= + ( - )

Na figura abaixo representamos o vetor - e a seguir, pela regra do paralelogramo, determinamos a soma de com -.

Multiplicação de um vetor por um número

Dado um vetor não nulo e um número real não nulo k, a multiplicação de kpor resulta num vetor , indicado por

= k .

e tal que:

-1º ) | | = | k | . | |

-2º ) e têm a mesma direção

-3º)

Exemplo 3

Na figura abaixo representamos o vetor , o vetor tal que = 2 e o vetor tal que = -3 .

Podemos observar que:

| | = 2 | | e | | = 3 | |

Se = ou k = 0 temos:
k . =

Decomposição de um vetor

Dado um vetor não nulo (Fig.10), como veremos mais tarde, pode ser vantajoso obter dois vetores perpendiculares e (Fig. 11) tais que:

= +

Esse processo é chamado decomposição, dizemos que o vetor foi decomposto nos vetores e . Feita a decomposição, o vetor é substituído pelo par de vetores e . (Fig. 12)

Considerando o triângulo sombreado na Fig. 11 temos:

Exemplo 4

Para o vetor representado abaixo temos | | = 5. Sabendo que sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6 , determine os módulos dos vetores obtidos pela decomposição do vetor nas direções x e y.

Resolução

| | = | | . cos θ = ( 5 ) ( 0,6 ) = 3

| | = | | . sen θ = ( 5 ) ( 0,8 ) = 4