Funções Exponenciais - Funções Logarítmicas

Funções Exponenciais - Funções Logarítmicas

Função exponencial

Para cada número real b (positivo e diferente de 1) podemos construir uma função chamada função exponencial com base b, cujo domínio é o conjunto de todos os números reais e cuja fórmula (equação) é y = b^x. Por exemplo

Função exponencial Para toda constante real b, b > 0 e b ≠ 1 a equação y = bx define uma função exponencial com base b, cujo domínio é o conjunto dos números reais.

Observação

Usamos b > 0 para evitarmos raízes reais de números negativos; por exemplo

E, impomos b ≠ 1 porque y = 1^x = 1 define uma função constante.

Vamos examinar o comportamento da função exponencial com base 2

y = f(x) = 2^x

1. A função é definida para todos os valores reais de x; por exemplo

x = 2: f(2) = 2² = 4

x = -2: f(-2) = 2^-2 =

O domínio da função é o conjunto dos números reais.

2. Para todo valor de x, 2^x não assume o valor zero ou valores negativos.

O conjunto imagem da função é o conjunto dos números reais positivos.

3. Com uma tabela de valores podemos esboçar o gráfico de f(x) = 2².

x	f(x)	(x; f(x))
-1		(-1; )
0	1	(0; 1)
1	2	(1; 2)
2	4	(2; 4)
3	8	(3; 8)

Se desejarmos, podemos melhorar a exatidão do gráfico, marcando mais pontos. Por exemplo, para valores racionais (fracionários) de x, como e  , temos

Podemos também substituir x por valores irracionais, como ou  ; para efetuar os cálculos podemos usar uma calculadora científica.

Note que os pontos se ajustam bem à nossa curva.

Os gráficos das funções exponenciais y = b^x, com base b > 1, têm basicamente o mesmo comportamento do gráfico de y = 2^x, que desenhamos.

Vemos que as curvas são crescentes, com a concavidade voltada "para cima". Todas passam pelo ponto (0;1).

Vamos agora examinar os comportamentos da função exponencial com base

y = f(x) =

1. A função é definida para todos os valores reais de x; por exemplo

x = 2 : f(2) = =

x = -2 : f(-2) = = 2² = 4

O domínio da função é o conjunto dos números reais.

2. Para todo valor de x,  não assume o valor zero ou valores negativos.

O conjunto imagem da função é o conjunto dos números reais positivos.

3. Com uma tabela de valores podemos esboçar o gráfico de f(x) = .

x	f(x)	(x; f(x))
-3	8	(-3; 8)
-2	4	(-2; 4)
-1	2	(-1; 2)
0	1	(0; 1)
1		(1; )
2		(2; )

Os gráficos das funções exponenciais y = b^x, com base 0 < b < 1, têm basicamente o mesmo comportamento do gráfico de y = .

Vemos que as curvas são decrescentes, com a concavidade voltada "para cima". Todas passam pelo ponto (0; 1).

Note também que o gráfico de y = = 2^-x pode ser obtido do gráfico de y = 2^x por reflexão em torno do eixo-y.

De um modo geral, isso se dá quando desenhamos o gráfico de uma equação y = f(x) e da equação y = f(-x), obtida de y = f(x) trocando x por -x.

Função exponencial Para b > 0 e b ≠ 1, a função exponencial com base b é definida por f(x) = bx O domínio de f é o conjunto dos números reais, e o conjunto imagem de f é o conjunto I = {y ∈  | y > 0}, dos números reais positivos.

 

 

Exercícios

1. Determine a função exponencial f(x) = b^x, cujo gráfico é dado.

Resolução

a) Se o gráfico passa por (2; 9), então f(2) = 9

O gráfico dado é o da função exponencial com base 3.

b) Se o gráfico passa por (3; ), então f(3) = 

O gráfico dado é o da função exponencial com base  .

2. Usar o gráfico de y = 2^x para obter o gráfico de cada uma das funções.

a) f(x) = - 2^x 

b) f(x) = 2^x - 1 

c) f(x) = 2^{x + 1}

Resolução

a)  
b)  

c)

Equações exponenciais

A função exponencial com base b, b > 0 e b ≠ 1,

f(x) = b^x

apresenta a seguinte propriedade:

Se f(x₁) = f(x₂), então x₁ = x₂

isto é,

Se b^x₁ = b^x₂ , então x₁ = x₂

Em propriedade pode ser usada para resolvermos equações exponenciais, que são equações nas quais a incógnita se apresenta nos expoentes de potências.

Por exemplo,

2^{x - 1} = 16

é uma equação exponencial. Para resolvê-la, observe que 16 = 2⁴; então, escrevemos

2^{x - 1} = 2⁴

e, pela propriedade descrita acima, obtemos

x - 1 = 4

x = 5.

Exercícios

1. Resolver a equação 2^{x2 - x} = 64

Resolução

Como 64 = 2⁶, temos:

2^{x2 - x} = 2⁶

x² - x = 6

Daí,

2. Resolver a equação 3^x = 

Resolução

Temos 

 

Então, a equação escreve-se assim

3x = 

x = - 

3. Resolva a equação 2^{x + 1} + 2^x = 12.

Resolução

Temos:

Então, a equação escreve-se assim

4.  Resolva a equação  = 2^x . 2¹³

Resolução

Sendo 2^x . 2¹³ = 2^{x + 13}, vem

2^{x2 + 1} = 2^{x + 13}

x² + 1 = x + 13

Daí,

5.  Seja a função exponencial com base 2, f(x) = 2^x.

Se f() = m, f() = n, calcule em função de m e n:

a) f ( + )

b) f ( - )

c) f (5 - ) 

Resolução

a) Temos: 
 

b) Temos:
  

c) Temos:
 

Função Logarítmica

Uma função exponencial y = f(x) = b^x, com base b > 0 e b ≠ 1, é uma função 1 - 1.

Então, ela admite uma função inversa f^-1, que se chama função logarítmica com base b, que é representada com log_b. Para expressarmos essa função inversa na forma y = f^-1(x), isto é, para obtermos a fórmula que a define, resolvemos a equação y = b^x para x, e, em seguida, trocamos x com y. Daí, a definição.

Função logarítmica  Se b > 0 e b ≠ 1, a função logarítmica de base b é definida por y = f(x) = ⇔ by = x  O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos.  O conjunto imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais.

Em outras palavras, dizemos que

é o expoente que atribuímos à base b para obtermos x.

Lemos assim "logaritmo de x na base b" ou simplesmente "log de x na base b".

Note da definição de logaritmos, que podemos passar da forma logarítmica = y para a forma exponencial b^y = x, e que nas duas formas a base é a mesma:

Exemplos

= 2 porque 2² = 4

= 1 porque 5¹ = 5

= -2 porque 7^-2 =

= porque = 5

= -2 porque 4^-2 =

quando by = x

Observação

Sendo o domínio da função logarítmica limitado ao conjunto dos números reais positivos, é impossível determinamos o logaritmo de zero, o logaritmo de números negativos e de números não reais.

Exercícios

1. Calcular y em cada equação

a)  = y

b)  = y

c)  = y

Resolução

 

 

2.  Em cada equação determine x.

a)  = 

b)  = -1

c)  = 2

Resolução

a) Temos:

b) Temos:

c) Temos:

3. Em cada equação determine b.

a)  = 2

b)  = -1

c)  = 

Resolução

a) Temos:

b) Temos:

c) Temos:

Observação

Em qualquer base b, o logarítmo do número 1 é zero e o logarítmo da própria base é 1.

Logaritmo comum

Para fins práticos, os logaritmos com base 10 são muito usados. Os logaritmos com base 10 são chamados de logaritmos comuns ou logaritmos decimais.

Quando a base b é omitida na notação logx, fica convencionado que b = 10.

logx significa

x	log x
	- 2
	- 1
log 1	0
log 10	1
log 100	2
log 1000	3

As calculadoras científicas nos dão o logaritmo decimal de um número positivo; por exemplo, se desejamos log 7,14, veja como operamos.

log 7.14 EXE      (Casio fx - 6500 G) A calculadora nos mostra 0.8536982118 7.14 log     (Casio fx - 350 D) A calculadora nos mostra 0.8536982

Logaritmo natural

Há um número, representado por e, que exerce um papel muito importante na matemática e, mais particularmente, na construção de modelos matemáticos para a descrição de fenômenos naturais.

Esse número é irracional e tem o valor aproximado

e = 2,718281828459...

Os logaritmos com base e chamam-se logaritmos naturais. Os logaritmos naturais são comumente representados com ln x.

ln x significa

As calculadoras científicas também dão o logaritmo natural de um número positivo. Veja, por exemplo, ln 5,92.

ln 5.92 EXE (Casio fx - 6500 G) A calculadora nos mostra 1.778336 449 5.92 ln (Casio fx - 350 D) A calculadora nos mostra 1.7783364

Gráfico da função logarítmica

Seja f uma função 1 - 1 cujo domínio é A e conjunto imagem B. Ela admite uma inversa f^-1, cujo domínio é B e conjunto imagem A.

Para a função exponencial f(x) = b^x, com base b > 0 e b ≠ 1, o domínio é o conjunto dos números reais e o conjunto imagem, o conjunto dos números reais positivos. Sua função inversa é a função logarítmica f^-1(x) = , cujo domínio é o conjunto dos números reais positivos e, conjunto imagem .

O gráfico de f^-1(x) = , é obtido por reflexão do gráfico de f(x) = b^x com relação à reta de equação y = x.

Note que quando a base b > 1, a curva é crescente, com a concavidade voltada "para cima". Ela passa pelo ponto (1; 0).

Quando 0 < b < 1, a curva é decrescente, com a concavidade também voltada "para cima"; ela passa pelo ponto (1; 0).

Exercícios

1. Esboçar o gráfico de f(x) = .

Resolução

Construímos uma tabela de valores para esboçar o gráfico de f(x) = ,

2. Determinar a função logarítmica f(x) = , cujo gráfico é dado.

Resolução

a) Se o gráfico passa por (9; 2), então f(9) = 2.

O gráfico dado é o da função logarítmica f(x) = .

b) Se o gráfico passa por (25; -2), então f(25) = -2.

O gráfico dado é o da função logarítmica f(x) = .

3. Usar o gráfico de y =  para obter o gráfico de cada uma das funções.

a) f(x) = - 

b) f(x) = 

c) f(x) = 1 + 

d) f(x) = 

Resolução

a)

b)

c)

d)

Note que o domínio da função f(x) =  é { x ∈  | x – 1 > 0} = { x ∈  | x > 1}.

Propriedades imediatas

Propriedade	Justificação
1. = 0 2. = 1 3. = x 4.	b0 = 1 b1 = b bx = bx é o expoente que atribuímos à base b para obtermos x.

Exemplos

= 0  (1)   = 2  (3)

= 1 (2)   (4)

As leis dos logaritmos

Sabemos que = 2 porque 2² = 4, que = 3 porque 2³ = 8 e que = 5 porque 2⁵ = 32.

Note que

+ = 2 + 3

= 5

=

=

Então,

= + ,

isto é, o logaritmo do produto 4 . 8 é a soma dos logaritmos dos fatores. Esse resultado é um caso particular de uma das (três) leis dos logaritmos.

Leis dos logaritimos

Se M e N são positivos, com b > 0 e b ≠ 1, então:

Exemplo

Para os números positivos A, B e C temos

= -		Lei 2
= = -		Lei 1
= 3 . = -		Lei 3

Exercícios

1. Usando as Leis dos Logarítmos desenvolver as expressões.

a) 

b) log (a⁵ . b⁷)

c) 

d) ln 

Resolução

2. Usando as Leis dos Logarítmos calcular cada expressão.

a) 

b) 

c) - log 27

Resolução

3. Escrever a expressão como um único logarítmo.

a) 2  +  

b) 

c) log . (x + 1) + 3 log . x - 2log . (x - 2)

Resolução

Erro comum

Mudança de base

Se conhecemos o logaritmo de um número em uma base b, podemos determinar esse logaritmo em outra base a. Para isso, usamos a Fórmula de Mudança de Base.

Fórmula de mudança de base   Se x, b e a são números positivos, b ≠ 1 e a ≠ 1, então

Em particular, substituindo x por a na fórmula e lembrando que , vem

Exemplo

Podemos calcular usando os logaritmos decimais.

=

Observação

Podemos escrever a Fórmula de Mudança de Base assim

Equações Logarítmicas

Equação logarítmica é aquela na qual ocorre o logarítmico de uma incógnita. Por exemplo,

= 4

Para resolvê-la, nós a reescrevemos na forma exponencial

x + 3 = 2⁴

Daí,

x + 3 = 16

x = 13

Observação

Encontrado um valor para x, é prudente que se faça uma verificação; pode acontecer que tal valor, substituído na equação proposta, faça com que apareça um logaritmo de número negativo; ele deve ser rejeitado.

Propriedade

Para a resolução de equações logarítmicas é útil a propriedade abaixo, que resulta do fato da função logarítmica ser 1 - 1.

Propriedade 1 - 1 Para M e N positivos, b > 0 e b ≠ 1, temos: Se então M = N

Exemplo

Se então,

x - 2 = 7

x = 9

Exercícios

1. Resolver a equação 1 + 2 .  = 5.

Resolução

Temos:

Cheque a resposta

Para x =  temos

Observação

Quando em uma resposta encontrada colocamos  significa que a verificação foi feita e a raiz é aceitável.

2. Resolver a equação  = 2.

Resolução

Temos:

Cheque a resposta

Para x = 2 temos

= 2 + 0

= 2 

Para x = - 3 temos

Não definido

3.  Resolver a equação log (17x + 2) = 2log6.

Resolução

Temos:

Cheque a resposta

Para x = 2 temos

log(17 . 2 + 3) = log (34 + 2) = log36

= log6² = 2 log6 

4. Resolver a equação (lnx)² + lnx² - 3 = 0.

Resolução

Temos:

Agora, substituindo lnx por y, isto é, fazendo lnx = y, obtemos a equação do 2º grau

5. Resolver a equação .

Resolução

Como , temos

Daí,

6. Resolver a equação  = 2 

Resolução