Equações e Inequações - Sistemas de equações

Equações e Inequações - Sistemas de equações

Equação do 1º Grau

Toda equação na variável x do tipo (ou redutível a) ax + b = 0 com a ≠ 0 e a , b ∈ R é denominada equação polinomial do 1º grau em x.

Exemplos

3x - 6 = 0

3x = 6

x = 2

(é raiz, solução ou zero da equação; note que x = 2 o único valor de x que torna verdadeira a igualdade.)

Inequação do 1º Grau

Conceito de desigualdade

Os símbolos que representam desigualdades são: ≠, >, < e toda sentença aberta (que possui pelo menos uma variável) onde apareça uma desigualdade é uma inequação.

Uma propriedade importante das desigualdades é:                        

a > b ⇔ - a < - b

Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade por um número negativo "inverte-se o sentido" da desigualdade.

Exemplos

3x - 5 < x + 7

3x - x < 7 + 5

2x < 12

x < 6                   

Equação do 2º Grau

Toda equação na variável x do tipo (ou redutível a) ax² + bx + c = 0 onde ; b , , é denominada equação polinomial do 2º grau.

Discriminante:

Δ = b² - 4ac

Se Δ  > 0 temos se Δ  = 0 temos se Δ  < 0 não existem raízes reais.

Se x₁ e x₂ são as raízes da equação ax² + bx + c = 0 , então

Exemplos

Δ  = b² - 4 . a . c

Δ  = 49 - 4 . 1 . 12

Δ  = 49 - 48

Δ  = 1

Inequação do 2º Grau

Estudo da variação dos sinais das imagens da função do 2º grau.

Seja a função f:  | | f(x) = ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Seu gráfico é uma parábola que se comporta conforme a tabela abaixo:

 

ou:

Exemplo

1º Cálculo das raízes

2º Esboço da Parábola

3º Análise do sinal

x² - 5x + 6 > 0 p/ x < 2 ou x > 3

Sistemas de equações

1º Grau:

Vamos somar as duas equações; membro a membro:

3x = 18

x = 6

Substituindo numa das equações:  6 + y = 8

y = 2 Este é o método da Adição.

Veja agora o método da substituição:

1º) Vamos isolar y na 2ª Equação: y = 6 - x

2º) E substituir na 1ª: x²  - (6 - x)² = 24

3º) Agora resolvendo...

x² - (36 - 12x + x²) = 24

x² - 36 + 12x - x² = 24

12x = 60

x = 5

5 = x → y = 6 - x ⇒ y = 1

Inequações - Produto e Quociente

Observe o modelo:

1) Estudando o sinal de cada fator. 1- x = 0 ⇔ x = 1

x² - 9 = 0 ⇔ x = 3 ou x = -3

2x - 8 = 0

x = 4

2) Agora vamos colocar estes dados no quadro de sinais.

3) Como foi pedido negativo:

Temos

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