Queda Livre e Lançamento Vertical

Movimento Vertical No Vácuo - Mecânica

Consideremos um corpo em movimento vertical nas proximidades da superfície da Terra sob a ação de uma única força que é a sua força peso; estamos, portanto, supondo que não há resistência do ar, isto é, estamos supondo que o movimento se dá no vácuo. A experiência mostra que esse movimento tem uma aceleração aproximadamente constante, cujo módulo chama-se aceleração da gravidade e é representado por g. O valor de g não depende do tamanho, forma ou massa do corpo.

O valor de g varia de ponto a ponto da Terra, mas o seu valor é próximo de 9,8 m/s².

Como a queda livre é um movimento de aceleração constante, trata-se de um movimento uniformemente variado e, assim podemos usar as equações do MUV:

v = v0 + at

v2 = v02 + 2a(s - s0)

onde |a| = g. O sinal de a dependerá do eixo adotado como veremos adiante.

Para estudarmos esse movimento usamos as equações do M.U.V. tomando o seguinte cuidado:

a) Se o eixo dos espaços for orientado para baixo, a aceleração é positiva:  = + g

b) Se o eixo for orientado para cima, a aceleração é negativa:  = - g

Exemplo 1

Numa região em que g = 10 m/s2, uma partícula é lançada para baixo, de uma altura de 140 metros, com velocidade inicial v0 = 15 m/s. Depois de quanto tempo a partícula atinge o solo? (despreze a resistência do ar)

Resolução

Adotado o eixo mostrado na figura abaixo temos:

Assim, a equação horária do espaço é:

s = 15 + 5t2

Quando a partícula atingir o solo teremos s = 140 m:

140 =15t + 5t2

Simplificando ficamos com a equação

t2 + 3 t - 28 = 0

As raízes dessa equação são

t = 4 e t = -7

Desprezamos a resposta negativa e ficamos com a resposta positiva:

t = 4 s

LANÇAMENTO PARA CIMA

Na Fig. 1 representamos uma situação em que uma partícula é lançada verticalmente para cima, saindo da mão da pessoa com velocidade inicial v0 . Neste caso, durante a subida o movimento é retardado o módulo da velocidade vai diminuindo até atingir a altura máxima (ponto B) onde a velocidade é nula. A seguir a partícula começa a descer com movimento acelerado: durante a descida o módulo da velocidade vai aumentando.

Para facilitar a análise vamos supor v0 = 30 m/s e g = 10 m/s.

No caso em que o lançamento é para cima é mais prático adotar um eixo orientado para cima (Fig. 1). Desse modo, na subida a velocidade é positiva pois o movimento é a favor do eixo. Porém, na descida, o movimento tem sentido oposto ao do eixo e, assim, na descida a velocidade é negativa.

t (s)
v (m/s)
0
30
1
20
2
10
3
0
4
-10
5
-20
6
-30

Como g = 10 m/s2 , isto significa que, a cada segundo, o módulo da velocidade varia de 10 m/s; na subida o módulo diminui e na descida o módulo aumenta. Acrescentando os sinais obtemos a tabela abaixo. Do ponto de vista algébrico, a cada segundo há uma diminuição de 10 m/s. Portanto, neste caso a aceleração é negativa tanto na subida como na descida:

a = -g = -10 m/s2

Percebemos então que, no momento de usar as equações do MUV, o sinal da aceleração vai depender do eixo adotado:

 

Exemplo 2

Da janela de um edifício, um garoto lança verticalmente para cima uma bola, com velocidade inicial 10 m/s. No momento do lançamento a bola está a 75 metros de altura, como ilustra a figura.

Adotando g = 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar pede-se:

a) depois de quanto tempo a bola atinge a altura máxima?

b) depois de quanto tempo a bola atinge o solo?

c) Esboce o gráfico do espaço em função do tempo.

Resolução

a) Adotando um eixo orientado para cima cuja origem está no solo (Fig. 6), temos:

 

= 75m; v0 = 10 m/s
= -g = -10m/s2

A equação horária da velocidade escalar é:

v = v0 + a t

v = 10 - 10 t

A bola atinge a altura máxima no instante em que v = 0:

v = 10 - 10t
 
0 = 10 - 10t

t = 1s  

b) A equação horária do espaço é:

s = s0 + v0t + a
2
t2
s = 75 + 10t + (-10)
2
t2

s = 75 + 10t-5t2

Quando a bola atingir o solo teremos s = 0:

s = 75 +10t - 5t2
 
0 = 75 +10t - 5t2

Simplificadamente obtemos: t2 - 2 t - 15 = 0

As raízes dessa equação são e 5 e -3. Considerando apenas a raiz positiva temos

t = 5s

c) Considerando a equação horária do espaço, vamos colocar alguns valores no lugar de t:

s = 75 + 10t - 5t2

t = 0  s = 75 + 10 (0) - 5 (0)2 = 75
t = 1  s = 75 + 10 (1) - 5 (1)2 = 80
t = 2  s = 75 + 10 (2) - 5 (2)2 = 75
t = 3  s = 75 + 10 (3) - 5 (3)2 = 60
t = 4  s = 75 + 10 (4) - 5 (4)2 = 35
t = 5  s = 75 + 10 (5) - 5 (5)2 = 0

A bola gasta 1 segundo para atingir a altura máxima (80 m) e mais 1 segundo para voltar à altura inicial (75 m). O tempo total de descida é igual a 4 segundos (desde t = 1 s até t = 5 s).

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