Prismas

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL: Prismas

1- Descrição

Na figura abaixo está representado um prisma.

Temos:

α // β

r fura α e β

// r

2- Nomenclatura

Vértices: são os pontos A, B, C,..., A', B', C',...

Bases: são os polígonos ABCDE e A'B'C'D'E'; estão contidos em planos paralelos e são congruentes.

Altura: é a distância h entre os planos das bases.

Arestas das bases: são os lados das bases.

Faces laterais: são os paralelogramos ABB'A', BCC'B',...

Arestas laterais: são os segmentos .. que unem os vértices correspondentes das bases.

Diagonal: é um segmento, como , que une dois vértices que não pertencem a uma mesma face lateral, ou a uma mesma base.

3- Classificação

a) Segundo o número de arestas da base.

Um prisma é denominado triangular, quadrangular, pentagonal,... conforme as bases sejam triângulos, quadrilateral, pentágonos,...

Entre os prismas quadrangulares, são importantes os paralelepípedos; suas bases são paralelogramos.

b) Segundo a inclinação das arestas laterais.

Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Note que as faces laterais são retângulos.

Prisma oblíquo: é aquele que não é reto.

Entre os prismas retos, são importantes os paralelepípedos retos, cujas bases são retângulos; são os paralelepípedos reto-retângulos (p.r.r.)

Note que suas faces laterais também são retângulos.

c) Segundo a forma das bases.

Prisma regular: é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Entre o prisma regular, é importante o cubo, cuja base é um quadrado.

Note que no cubo as bases e também as faces laterais são quadrados.

4- Área lateral e área total

Chama-se área lateral de um prisma à soma das áreas das faces laterais. Ela é representada em Sl.

Chama-se área total de um prisma à soma das áreas das duas bases com a área lateral. Ele é representada com St .

Se representarmos a área de uma base com Sb temos a propriedade abaixo.

Propriedade

St = 2.Sb+ Sl

 

Exercícios Resolvidos

1) Num paralelepípedo reto-retângulo as arestas de base medem 3 cm e 5 cm; sua altura é igual a 4 cm. Calcular:

a) o comprimento de uma diagonal;

b) a área total desse paralelepípedo.

Resolução

a)

         

No ΔBCD, retângulo em D, temos:

x2 = 32 + 52

x =

No ΔABC, retângulo em B, temos:

d2 = 42 + ()2

d2 = 50

d = (cm)

b) Temos:

Sb = 3 . 5 = 15

Sl = 2 . (4 . 5) + 2. (3 . 4) =

St = 2 .Sb + Sl

= 2.15 + 64

= 94 (cm2)

2) Um cubo tem aresta cuja medida é 5 cm. Calcular:

a) o comprimento de uma diagonal:

b) sua área total

Resolução

a)

          

No ΔBCD, retângulo em D, temos:

x2 = 52 + 52

x =

No ΔABC, retângulo em B, temos:

d2 = 52 + ()2

d = (cm)

b) A área total é 6 vezes a área de uma face qualquer ( base, ou face lateral), que é um quadrado de lado 5; então,

St = 6. 52

= 150 cm2  

3- Calcular a área total de prisma regular triangular, sabendo que uma aresta de base mede 6 m e cuja altura é 8 cm.

Resolução

Temos:

Sb = (6.6.sen 60°)/2

= 9

Sl = 3.(6.8)

= 144

Daí,

St = 2 . Sb + Sl

= 2 . 9 + 144

= 18 (+ 8) cm2

5- Volume de um prisma

Propriedade

O volume de qualquer prisma é o produto da área de sua base pela sua altura.

Há dois casos particulares que devemos considerar:

Exercícios resolvidos

1- Um prisma regular de base triangular tem aresta de base igual a 4 cm e sua altura é igual à altura do triângulo da base. Calcular o volume desse prisma.

Resolução

O ABC da base é equilátero; então, no ΔHBC, retângulo em H, temos:

42 = h2 + 22

h2 = 12

h = 2

Então,

Sb = . AB .h

= . 4 . 2

= 4

Daí, o volume do prisma é:

V = Sb . h

= 4 . 2

= 24 ( cm2)

2 - Um paralelepípedo reto-retângulo tem arestas 3 cm, 5 cm e 8 cm, Determinar:

a) sua diagonal d;

b) sua área total St;

c) seu volume.

Resolução

a)

No ΔBCD, retângulo em D, temos:

x2 = 52 + 82

x2 = 89

x =

No ΔABC, retângulo em B , temos:

d2 = x2 + 32

d2 = 89 + 9

d2 = 98

d =  cm

b) Temos:

St = 2 . (8.5) + 2 . (3.5) + 2 . (3.8)

= 158 cm2

c) O volume é dado por

V = Sb . h

= (5.8) . 3

= 120 cm3

3- A área total de um cubo é 24 cm2 . Qual é o seu volume ?

Resolução

A área total é dada por:

St = 6a2

Daí:

6a2 = 24

a2 = 4

a = 8

O volume do cubo é:

V = a3

= 8 (cm3)

4- A área total de um prisma reto de base quadrada é 190 cm2 e a área de uma base é 25 cm2. Qual é o volume desse prisma ?

Resolução

Temos:

St = 2Sb + Sl

190 = 2 . 25 + Sl

Sl = 140

Também:

Sb = a2 = 25

a = 5

Daí, vem:

Sl = 4 . (ah)

140 = 4.5.h

h = 7

O volume do paralelepípedo é:

V = Sb . h

= 25 . 7

= 175 (cm3)

5- As arestas de um paralelepípedo reto-retângulo medem 4 m , 5 m e 8 m. Qual é o volume desse paralelepípedo, em litros?

Resolução

O volume, em m3, é:

V = 4 . 5 . 8

= 160

Observação do autor:

1 L = 1000 cm3

1 m3 = 1000 L

Então,

V = 160.000 L

Sumário

- Descrição
- Nomenclatura
- Classificação
- Área lateral e área total
- Volume de um prisma