Prismas
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GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL: Prismas
1- Descrição
Na figura abaixo está representado um prisma.
Temos:
α // β
r fura α e β
// r
2- Nomenclatura
Vértices: são os pontos A, B, C,..., A', B', C',...
Bases: são os polígonos ABCDE e A'B'C'D'E'; estão contidos em planos paralelos e são congruentes.
Altura: é a distância h entre os planos das bases.
Arestas das bases: são os lados das bases.
Faces laterais: são os paralelogramos ABB'A', BCC'B',...
Arestas laterais: são os segmentos .. que unem os vértices correspondentes das bases.
Diagonal: é um segmento, como , que une dois vértices que não pertencem a uma mesma face lateral, ou a uma mesma base.
3- Classificação
a) Segundo o número de arestas da base.
Um prisma é denominado triangular, quadrangular, pentagonal,... conforme as bases sejam triângulos, quadrilateral, pentágonos,...
Entre os prismas quadrangulares, são importantes os paralelepípedos; suas bases são paralelogramos.
b) Segundo a inclinação das arestas laterais.
Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Note que as faces laterais são retângulos.
Prisma oblíquo: é aquele que não é reto.
Entre os prismas retos, são importantes os paralelepípedos retos, cujas bases são retângulos; são os paralelepípedos reto-retângulos (p.r.r.)
Note que suas faces laterais também são retângulos.
c) Segundo a forma das bases.
Prisma regular: é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
Entre o prisma regular, é importante o cubo, cuja base é um quadrado.
Note que no cubo as bases e também as faces laterais são quadrados.
4- Área lateral e área total
Chama-se área lateral de um prisma à soma das áreas das faces laterais. Ela é representada em Sl.
Chama-se área total de um prisma à soma das áreas das duas bases com a área lateral. Ele é representada com St .
Se representarmos a área de uma base com Sb temos a propriedade abaixo.
Propriedade St = 2.Sb+ Sl |
Exercícios Resolvidos
1) Num paralelepípedo reto-retângulo as arestas de base medem 3 cm e 5 cm; sua altura é igual a 4 cm. Calcular:
a) o comprimento de uma diagonal;
b) a área total desse paralelepípedo.
Resolução
a)
No ΔBCD, retângulo em D, temos:
x2 = 32 + 52
x =
No ΔABC, retângulo em B, temos:
d2 = 42 + ()2
d2 = 50
d = (cm)
b) Temos:
Sb = 3 . 5 = 15
Sl = 2 . (4 . 5) + 2. (3 . 4) =
St = 2 .Sb + Sl
= 2.15 + 64
= 94 (cm2)
2) Um cubo tem aresta cuja medida é 5 cm. Calcular:
a) o comprimento de uma diagonal:
b) sua área total
Resolução
a)
No ΔBCD, retângulo em D, temos:
x2 = 52 + 52
x =
No ΔABC, retângulo em B, temos:
d2 = 52 + ()2
d = (cm)
b) A área total é 6 vezes a área de uma face qualquer ( base, ou face lateral), que é um quadrado de lado 5; então,
St = 6. 52
= 150 cm2
3- Calcular a área total de prisma regular triangular, sabendo que uma aresta de base mede 6 m e cuja altura é 8 cm.
Resolução
Temos:
Sb = (6.6.sen 60°)/2
= 9
Sl = 3.(6.8)
= 144
Daí,
St = 2 . Sb + Sl
= 2 . 9 + 144
= 18 (+ 8) cm2
5- Volume de um prisma
Propriedade O volume de qualquer prisma é o produto da área de sua base pela sua altura. |
Há dois casos particulares que devemos considerar:
Exercícios resolvidos
1- Um prisma regular de base triangular tem aresta de base igual a 4 cm e sua altura é igual à altura do triângulo da base. Calcular o volume desse prisma.
Resolução
O ABC da base é equilátero; então, no ΔHBC, retângulo em H, temos:
42 = h2 + 22
h2 = 12
h = 2
Então,
Sb = . AB .h
= . 4 . 2
= 4
Daí, o volume do prisma é:
V = Sb . h
= 4 . 2
= 24 ( cm2)
2 - Um paralelepípedo reto-retângulo tem arestas 3 cm, 5 cm e 8 cm, Determinar:
a) sua diagonal d;
b) sua área total St;
c) seu volume.
Resolução
a)
No ΔBCD, retângulo em D, temos:
x2 = 52 + 82
x2 = 89
x =
No ΔABC, retângulo em B , temos:
d2 = x2 + 32
d2 = 89 + 9
d2 = 98
d = cm
b) Temos:
St = 2 . (8.5) + 2 . (3.5) + 2 . (3.8)
= 158 cm2
c) O volume é dado por
V = Sb . h
= (5.8) . 3
= 120 cm3
3- A área total de um cubo é 24 cm2 . Qual é o seu volume ?
Resolução
A área total é dada por:
St = 6a2
Daí:
6a2 = 24
a2 = 4
a = 8
O volume do cubo é:
V = a3
= 8 (cm3)
4- A área total de um prisma reto de base quadrada é 190 cm2 e a área de uma base é 25 cm2. Qual é o volume desse prisma ?
Resolução
Temos:
St = 2Sb + Sl
190 = 2 . 25 + Sl
Sl = 140
Também:
Sb = a2 = 25
a = 5
Daí, vem:
Sl = 4 . (ah)
140 = 4.5.h
h = 7
O volume do paralelepípedo é:
V = Sb . h
= 25 . 7
= 175 (cm3)
5- As arestas de um paralelepípedo reto-retângulo medem 4 m , 5 m e 8 m. Qual é o volume desse paralelepípedo, em litros?
Resolução
O volume, em m3, é:
V = 4 . 5 . 8
= 160
Observação do autor:
1 L = 1000 cm3
1 m3 = 1000 L
Então,
V = 160.000 L
Sumário
- Descrição- Nomenclatura
- Classificação
- Área lateral e área total
- Volume de um prisma
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