Circunferência

CIRCUNFERÊNCIA

Distância entre dois pontos

No plano x - y consideremos os pontos A(x1; y1) e B(x2; y2) e vamos calcular a distância entre eles.

O triângulo ABC é retângulo; o Teorema de Pitágoras nos dá para a distância d(A, B) entre A e B:

Fórmula da distância

No plano x - y a distância entre os pontos A(x1; y1) e B(x2; y2) é

d(A, B) =

Exemplo

A distância entre os pontos A(2;-5) e B(-6;1) é

O ponto médio de um segmento

Sejam (x;y) as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(x1; y1) e B(x2; y2).

Os triângulos AMC e MBD são congruentes (iguais) porque d(A, M) = d(M, B) e os ângulos correspondentes são iguais. Então, d(A, C) = d(M, C) e daí

x – x1 = x2 - x
2x = x1 + x2
x =

De forma análoga, obtemos

y =

Fórmula do ponto médio

O ponto médio do segmento de extremidades A(x1; y1) e B(x2; y2) é o ponto

Exemplo

O ponto médio do segmento de extremidades (-2; 3) e (4; 5) é o ponto

= (1; 4)

Circunferência

Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma distância fixa, r, de um ponto dado C, chamado centro da circunferência; r é o raio da circunferência.

Consideremos, então, a circunferência da figura abaixo, com centro na origem O(0; 0) e raio 2. Um ponto está na circunferência se sua distância ao centro é 2, isto é, d(P, 0) = 2.

A Fórmula da Distância nos dá

d(P, 0) = 2

Podemos concluir que um ponto P(x; y) está na circunferência de centro O(0; 0) e raio 2 se as suas coordenadas satisfazem a equação x2 + y2 = 4, que se chama equação da circunferência.

De um modo geral, consideremos a circunferência de centro C(h; k) e raio r.

Se o ponto P(x;y) está na circunferência, sua distância ao centro C(h;k) é r, isto é,

d(P, C) = r. Da Fórmula da Distância temos

Equação de uma circunferência

Uma equação de uma circunferência com centro C(h; k) e raio r é (x - h)2 + (y - k)2 = r2

Note que, em particular, uma circunferência com centro na origem e raio r tem equação x2 + y2 = r2.

 

Sumário

- Distância entre dois pontos
- O ponto médio de um segmento
- Circunferência
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