Espelhos Esféricos

Espelhos Esféricos

Reflexão em superfícies curvas

Nesta aula vamos estudar espelhos de formato esférico. Mas antes disso devemos verificar com fica a lei da reflexão quando a superfície é curva. Na figura 1 representamos um raio de luz que atinge a superfície de um espelho curvo.

 

Pelo ponto P passamos um plano tangente à superfície do espelho (figura 2). A seguir traçamos a reta que passa por P e é perpendicular ao plano. O raio refletido e o raio incidente devem formar o mesmo ângulo com a normal.

Há um caso particular importante que é o caso de um espelho esférico (figura 3). Nesse caso, como aprendemos na Geometria, a reta normal passa pelo centro (C') da esfera.

Um espelho curvo pode ter um formato qualquer. Porém, nesta aula, analisaremos em detalhe apenas o espelho esférico.

Espelhos esféricos

Na figura 4 representamos uma superfície esférica dividida em duas partes por um plano. Cada uma das partes é uma calota esférica. Um espelho esférico é formado por uma superfície esférica ou uma calota esférica que tem uma de suas faces com a propriedade de refletir regularmente a luz.

Quando a face refletora é a externa (Fig. 5) o espelho é chamado convexo. Quando a superfície refletora é a interna (Fig. 6) o espelho é chamado de côncavo.

Na figura 7 representamos alguns elementos de um espelho esférico.

O centro da superfície esférica que originou o espelho é chamado de centro de curvatura.

O raio (R) da superfície esférica é chamado raio de curvatura.

O ponto V, que é o centro da calota é chamado de vértice do espelho.

A reta que passa por C e V é chamada de eixo principal do espelho.

O ângulo assinalado na figura é chamado de ângulo de abertura.

Propriedade

Lembrando que no caso do espelho esférico, a normal passa pelo centro de curvatura, concluímos que:

Quando um raio de luz incide num espelho esférico de modo que sua reta suporte passe pelo centro de curvatura (Fig. 8), o raio refletido está sobre o raio incidente.


Fig. 8

Espelho esférico de Gauss

Quando o ângulo de abertura é menor ou igual a 10º, o espelho esférico apresenta algumas propriedades especiais, sendo chamado de espelho esférico de Gauss. Os espelhos esféricos de Gauss costuma ser representados pelos esquemas das figuras 9 e 10.

Focos de um espelho de Gauss

Na figura 11 representamos dois raios de luz que incidem em um espelho côncavo de Gauss, paralelamente ao eixo principal. Verifica-se que eles são refletidos de modo que passam por um ponto F como mostra a figura; esse ponto é chamado foco do espelho. Pelo princípio da reversibilidade dos raios luminosos, se um raio incide no espelho passando pelo foco, (figura 12) será refletido paralelamente ao eixo principal.

Na figura 13 representamos dois raios de luz que incidem em um espelho convexo de Gauss, paralelamente ao eixo principal. Verifica-se que eles são refletidos de modo que seus prolongamentos passam por um mesmo ponto F, o foco do espelho. Pelo princípio da reversibilidade dos raios luminosos. Se um raio incide de modo que sua reta suporte passe pelo foco (figura 14), será refletida paralelamente ao eixo principal.

Tanto no espelho côncavo como no convexo, o foco está no ponto médio do segmento VC (figura 15).

Como o comprimento do segmento CV é igual ao raio (R), temos:

x=R/2

Obtenção de imagens

Para obtermos a imagem produzida por um espelho esférico, procedemos como no espelho plano. Consideremos raios que partem do objeto e se refletem no espelho. A imagem deverá estar no cruzamento dos raios refletidos ou dos prolongamentos dos raios refletidos. Em geral consideraremos os dois raios incidentes cujos raios refletidos sejam fáceis de desenhar:

- um raio que passa pelo centro de curvatura

- um raio paralelo ao eixo principal

Imagem produzida por um espelho convexo de Gauss

Na figura 16 representamos um objeto AB colocado em frente a um espelho convexo de Gauss. Pelo ponto a traçamos um raio paralelo ao eixo principal. Esse raio será refletido de modo que seu prolongamento passe pelo foco F. Em seguida passamos por A um raio cujo prolongamento passe pelo centro de curvatura; esse raio será refletido sobre si mesmo. O cruzamento (A') dos raios refletidos dá a imagem de A. Portanto, A'B' é a imagem de AB.

Do mesmo modo que no caso do espelho plano, a imagem está "atrás" do espelho, isto é, ela não é real pois foi obtida pelo cruzamento dos prolongamentos dos raios refletidos; dizemos que essa imagem é virtual. Há, porém uma diferença em relação ao espelho plano:

- No espelho plano a imagem tem o mesmo tamanho que o objeto.

- No espelho convexo, a imagem é menor do que o objeto; dizemos que ela é diminuída.

Mais adiante veremos que há casos em que um espelho côncavo produz uma imagem "de cabeça para baixo", isto é, invertida. Porém, tanto o espelho plano como o convexo produzem imagens direitas, sem inversão.

Um exemplo de espelho convexo é a bola de natal (Fig. 17). É fácil observar que a imagem produzida é menor do que o objeto.


Fig. 17

Os espelhos convexos também usados em portas de garagem ou elevadores (figura 18) e como retrovisores em automóveis (figura 19).

Fig. 18
Fig. 19

Imagens produzidas por espelhos côncavos de Gauss

No caso do espelho côncavo, as características da imagem dependem da posição do objeto em relação ao espelho. Assim, devemos considerar várias possibilidades.

1) Objeto antes do centro de curvatura

Neste caso percebemos que a imagem A'B' está no cruzamento dos raios refletidos. Portanto é uma imagem real, podendo ser projetada em uma tela. Além disso observamos que:

- a imagem é invertida (está de "cabeça para baixo")

- a imagem é menor do que o objeto (diminuída)

- a imagem está entre C e F.

2º) Objeto sobre o centro de curvatura

Neste caso a imagem está também sobre o centro de curvatura e tem as seguintes características:

- é invertida

- é real

- tem o mesmo tamanho que o objeto

3º) Objeto entre C e F

4º) Objeto sobre o foco

Neste caso os raios refletidos são paralelos. Dizemos que a imagem se forma no infinito. Diz-se também que a imagem é imprópria.

5º) Objeto entre F e V

Neste caso o cruzamento é entre os prolongamentos dos raios refletidos, isto é, atrás do espelho. Portanto, a imagem é virtual. Além disso, vemos que:

- a imagem é direita

- a imagem é maior que o objeto.

Os espelhos côncavos são usados, por exemplo, para maquiagem ou limpeza de pele (figura 25). Aqueles pequenos espelhos que os dentistas introduzem em nossa boca, são espelhos côncavos que produzem uma imagem ampliada e direita do dente (desde que ele esteja entre F e V)


Fig. 25

Sumário

- Reflexão em superfícies curvas
- Espelhos esféricos
i. Propriedade
- Espelho esférico de Gauss
i. Focos de um espelho de Gauss
ii. Obtenção de imagens
- Imagem produzida por um espelho convexo de Gauss
- Imagens produzidas por espelhos côncavos de Gauss
- Determinação numérica da imagem
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