Estática de um corpo extenso - Estática de um corpo rígido

Translação e rotação

Até agora estudamos apenas o movimento de translação. O estudo dos movimentos de rotação é bastante complexo e, assim, aqui estudaremos apenas um caso particular: qual é a condição para que um corpo não sofra rotação?

Momento de uma força

Quando observamos o efeito de uma força na rotação de um objeto, percebemos que um fator importante é o ponto em que a força é aplicada. Uma mesma força aplicada em pontos diferentes pode provocar efeitos diferentes. Isso pode ser observado, por exemplo, quando tentamos fechar uma porta (Fig. 1)

Podemos perceber que é mais fácil fechar a porta empurrando longe das dobradiças (Fig. 1a) do que perto das dobradiças (Fig. 1b).

Por esse motivo definimos uma outra grandeza denominada momento de uma força.

Consideremos uma força atuando ao longo de uma reta r (Fig. 2). O momento de em relação a um ponto Z é definido por

M_F = F . d     (I)

onde d é a distância do ponto Z à reta r. O ponto Z é denominado polo.

A escolha do sinal na equação I vai depender da tendência do efeito de .

Se a tendência de for provocar uma rotação no sentido anti-horário (Fig. 3) em torno de Z, escolhemos o sinal positivo (+).

Se a tendência de for provocar uma rotação no sentido horário (Fig. 4) em torno de Z, escolhemos o sinal negativo (-).

A unidade de momento não tem nome especial. Sendo o produto de uma força por uma distância, sua unidade no SI é:

newton x metro

Exemplo 1

Na figura abaixo temos:

 

F₁ = 20 N ; F₂ = 30 N ; F₃ = 40 N

d₁ = 2,0 m ; d₂ = 4,0 m

Calcule os momentos das forças  ,    e    em relação ao polo Z

Resolução

A tendência da força    é produzir uma rotação no sentido horário em relação ao polo Z. Assim, seu momento será negativo:

= - F₁ . d₁ = -(20N)(2,0m) = - 40 N.m

= -40 N.m

A tendência da força    é produzir uma rotação no sentido anti-horário em torno do ponto Z. Portanto seu momento será positivo:

= + F₂ . d₂ = + (30N)(4,0m) = +120 N.m

= +120 N.m

A linha de ação da força    passa sobre o polo Z. Portanto a distância entre essa linha e o polo é nula e, assim, o momento da força é nulo:

= F₃.(0) = 0

= 0

CONDIÇÃO PARA NÃO HAVER ROTAÇÃO

Suponhamos que um corpo esteja sob a ação de várias forças:

, , , ...

A condição para que o corpo não sofra rotação é:

(II)

A escolha do polo é arbitrária pois é possível demonstrar que:

Exemplo 2

Uma barra de peso desprezível está em equilíbrio na posição horizontal, apoiada em um suporte S como ilustra a figura.

Nas extremidades X e Y aplicamos as forças    e  . Sabendo que F₁ = 20 N, calcule o valor de    e da força normal exercida pelo suporte sobre a barra.

Resolução

Na figura abaixo representamos todas as forças que atuam na barra.

Além de    e    temos a força normal  ₃ exercida pelo suporte S sobre a barra.

Vamos escolher o ponto Z como polo e calcular os momentos das forças em relação a Z.

M_F1 = + F₁ . d₁ = + (20) (3,0) = + 60

M_F2 = - F₂ . d₂ = - F₂ (5,0) = - (5,0) . F₂

Como a linha de ação de    passa pelo polo Z, o momento de  ₃  será nulo:

M_F3 = F₃ . (0) = 0

Para que a barra não sofra rotação devemos ter:

M_F1 + M_F2 + M_F3 = 0

+ 60 + (-5,0) (F₂) + 0 = 0

(5,0) F₂ = 60

F₂ = = 12

F₂ = 12N

Para que a barra não sofra translação, a resultante das forças dever ser nula:

F₃ = F₁ + F₂

F₃ = 20 N + 12 N

F₃ = 32N

Apenas a título de ilustração vejamos como ficariam os momentos se escolhêssemos outro polo. Escolhamos, por exemplo, o ponto X.

Com essa escolha o momento de    passa a ser nulo pois a linha de ação de    passa por X:

M_F1 = 0

Observando a figura acima vemos que os momentos de    e    ficam:

= -F2 . D2 = -(12)(8,0) = -96 = +F3 . D3 = +(32)(3,0) = +96

Portanto, tomando o ponto X como polo temos:

M_F1 + M_F2 + M_F3 = 0 + (-96) + (96) = 0

Isto é, a soma dos momentos continua sendo nula.

No exemplo anterior admitimos que a barra tinha peso desprezível. Quando o peso da barra não for desprezível e a barra for homogênea, podemos admitir que o seu peso atua no centro da barra (Fig. 5).