Vetores: Adição, Subtração e Multiplicação

Vetores: Adição, Subtração e Multiplicação

Grandezas Escalares e Vetoriais

Existem algumas grandezas que, para ficarem definidas basta fornecermos um número e uma unidade. Como exemplo podemos citar a massa, o volume, a temperatura; tais grandezas são chamadas escalares. Há porém algumas grandezas que para ficarem definidas precisam de uma informação geométrica para sabermos sua direção.

Suponhamos, por exemplo, o caso da grandeza força. Como veremos, a unidade de força no Sistema Internacional é o newton. Assim, quando dissermos por exemplo que uma força vale 200 newtons, precisamos acrescentar o "lado" para o qual ela atua.

Fig. 1	Fig. 2

Por exemplo, no caso da Fig. 1 o indivíduo está exercendo uma força horizontal para a direita; já na Fig.2, o indivíduo está exercendo uma força vertical para baixo. Assim, para a grandeza força ficar bem definida, usamos uma "flecha" para indicar o lado para o qual ele está atuando. Essas flechas são chamadas de vetores e as grandezas que precisam deles são chamadas de grandezas vetoriais. Como exemplo podemos citar a força, a velocidade, a aceleração.

Vetores

Para simbolizar um vetor usamos uma letra com uma pequena seta em cima como ilustra a Fig.3.

O "tamanho" do vetor é chamado de módulo. Para representar o módulo de um vetor usamos o símbolo

Quando dois vetores são paralelos ou estão sobre a mesma reta dizemos que têm a mesma direção.

Por exemplo, na Fig. 4, os vetores têm a mesma direção.

Já os vetores , por exemplo, têm direções diferentes.

Os vetores têm a mesma direção mas apontam para lados opostos; dizemos que têm sentidos opostos. Assim, podemos dizer:

têm o mesmo sentido têm sentidos opostos

Dizemos que dois vetores são iguais quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Por exemplo, na Fig 5 os três vetores têm o mesmo módulo:

Como os vetores têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, podemos dizer que são iguais:

Porém, os vetores , embora tenham o mesmo módulo e a mesma direção, têm sentidos opostos. Assim, não são iguais:

Apenas para completar a definição admitimos a existência do vetor nulo que é o vetor que tem módulo igual a zero. Neste caso sua representação se reduz a um ponto.

Adição de Vetores

Dados dois vetores não nulos (Fig. 6) a sua soma é obtida do seguinte modo:

Fig. 6

Fig. 7

I. Desenhamos um vetor igual ao vetor cuja origem é a extremidade de (Fig. 7)

II. O vetor soma é obtido ligando a origem de com a extremidade de :

O resultado seria o mesmo se, a partir do extremo de (Fig. 8) desenhássemos um vetor igual ao vetor , isto é:

Fig. 8

Se tivermos mais de dois vetores (Fig. 9) procedemos de modo análogo (Fig. 10)

Fig. 9

Fig. 10

No caso das figuras 9 e 10 temos:

Esta regra para obter a soma de vetores é chamada de Regra do Polígono.

Vetores de mesma direção

Na Fig. 11 ilustramos o caso particular em que os vetores e têm a mesma direção e o mesmo sentido.

Fig. 11

Na Fig. 12 ilustramos o caso em que os vetores e têm a mesma direção e sentidos opostos.

Exemplo 1

Os vetores e representados na figura abaixo têm direções perpendiculares e seus módulos são:

e

Obtenha o vetor tal que:

Resolução

Na figura abaixo representamos o vetor obtido pela regra do polígono. Pelo fato de os vetores serem perpendiculares, o triângulo sombreado na figura é um triângulo retângulo e, assim, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras:

A soma de vetores é também chamada de resultante.

Regra do Paralelogramo

Um outro modo de obtermos a soma de dois vetores e (Fig. 13) é usando a Regra do Paralelogramo.

Fig. 13	Fig. 14

I. Desenhamos dois vetores iguais a e , a partir da mesma origem O (Fig. 14)

II. Desenhamos um segmento XY, paralelo ao vetor e de mesmo módulo que

III. desenhamos um segmento ZY, paralelo ao vetor e de mesmo tamanho que

IV. O segmento OY representa o vetor que é a soma de e :

Se o ângulo for reto, aplicamos o Teorema de Pitágoras. Mas se o ângulo não for reto, usamos a seguinte regra:

onde cos é o cosseno do ângulo .

Exemplo 2

Na figura abaixo temos:

Determine o vetor tal que

usando a regra do paralelogramo.

Resolução

Para aplicarmos a regra do paralelogramo, desenhamos os dois vetores a partir da mesma origem O. A seguir desenhamos o segmento MN paralelo a e o segmento NP paralelo ao vetor . A diagonal ON representa o vetor que é a soma de com .

Para obtermos o módulo de aplicamos a regra:

Como

temos:

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