Vetores: Adição, Subtração e Multiplicação
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Vetores: Adição, Subtração e Multiplicação
Grandezas Escalares e Vetoriais
Existem algumas grandezas que, para ficarem definidas basta fornecermos um número e uma unidade. Como exemplo podemos citar a massa, o volume, a temperatura; tais grandezas são chamadas escalares. Há porém algumas grandezas que para ficarem definidas precisam de uma informação geométrica para sabermos sua direção.
Suponhamos, por exemplo, o caso da grandeza força. Como veremos, a unidade de força no Sistema Internacional é o newton. Assim, quando dissermos por exemplo que uma força vale 200 newtons, precisamos acrescentar o "lado" para o qual ela atua.
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Fig. 1
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Fig. 2
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Por exemplo, no caso da Fig. 1 o indivíduo está exercendo uma força horizontal para a direita; já na Fig.2, o indivíduo está exercendo uma força vertical para baixo. Assim, para a grandeza força ficar bem definida, usamos uma "flecha" para indicar o lado para o qual ele está atuando. Essas flechas são chamadas de vetores e as grandezas que precisam deles são chamadas de grandezas vetoriais. Como exemplo podemos citar a força, a velocidade, a aceleração.
Vetores
Para simbolizar um vetor usamos uma letra com uma pequena seta em cima como ilustra a Fig.3.
O "tamanho" do vetor é chamado de módulo. Para representar o módulo de um vetor usamos o símbolo
Quando dois vetores são paralelos ou estão sobre a mesma reta dizemos que têm a mesma direção.
Por exemplo, na Fig. 4, os vetores têm a mesma direção.
Já os vetores , por exemplo, têm direções diferentes.
Os vetores têm a mesma direção mas apontam para lados opostos; dizemos que
têm sentidos opostos. Assim, podemos dizer:
![]() |
têm o mesmo sentido têm sentidos opostos |
Dizemos que dois vetores são iguais quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Por exemplo, na Fig 5 os três vetores têm o mesmo módulo:
Como os vetores têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, podemos dizer que são iguais:
Porém, os vetores , embora tenham o mesmo módulo e a mesma direção, têm sentidos opostos. Assim,
não são iguais:
Apenas para completar a definição admitimos a existência do vetor nulo que é o vetor que tem módulo igual a zero. Neste caso sua representação se reduz a um ponto.
Adição de Vetores
Dados dois vetores não nulos (Fig. 6) a sua soma
é obtida do seguinte modo:
![]() Fig. 6 |
![]() Fig. 7 |
I. Desenhamos um vetor igual ao vetor cuja origem é a extremidade de
(Fig. 7)
II. O vetor soma é obtido ligando a origem de
com a extremidade de
:
O resultado seria o mesmo se, a partir do extremo de (Fig. 8) desenhássemos um vetor igual ao vetor
, isto é:
Fig. 8
Se tivermos mais de dois vetores (Fig. 9) procedemos de modo análogo (Fig. 10)
![]() Fig. 9 |
![]() Fig. 10 |
No caso das figuras 9 e 10 temos:
Esta regra para obter a soma de vetores é chamada de Regra do Polígono.
Vetores de mesma direção
Na Fig. 11 ilustramos o caso particular em que os vetores e
têm a mesma direção e o mesmo sentido.
Fig. 11
Na Fig. 12 ilustramos o caso em que os vetores e
têm a mesma direção e sentidos opostos.
Exemplo 1
Os vetores e
representados na figura abaixo têm direções perpendiculares e seus módulos são:
e
Obtenha o vetor tal que:
Resolução
Na figura abaixo representamos o vetor obtido pela regra do polígono. Pelo fato de os vetores serem perpendiculares, o triângulo sombreado na figura é um triângulo retângulo e, assim, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras:
A soma de vetores é também chamada de resultante.
Regra do Paralelogramo
Um outro modo de obtermos a soma de dois vetores e
(Fig. 13) é usando a Regra do Paralelogramo.
![]() |
![]() |
Fig. 13 | Fig. 14 |
I. Desenhamos dois vetores iguais a e
, a partir da mesma origem O (Fig. 14)
II. Desenhamos um segmento XY, paralelo ao vetor e de mesmo módulo que
III. desenhamos um segmento ZY, paralelo ao vetor e de mesmo tamanho que
IV. O segmento OY representa o vetor que é a soma de
e
:
Se o ângulo for reto, aplicamos o Teorema de Pitágoras. Mas se o ângulo
não for reto, usamos a seguinte regra:
onde cos é o cosseno do ângulo
.
Exemplo 2
Na figura abaixo temos:
Determine o vetor tal que
usando a regra do paralelogramo.
Resolução
Para aplicarmos a regra do paralelogramo, desenhamos os dois vetores a partir da mesma origem O. A seguir desenhamos o segmento MN paralelo a e o segmento NP paralelo ao vetor
. A diagonal ON representa o vetor
que é a soma de
com
.
Para obtermos o módulo de aplicamos a regra:
Como
temos:
Aulas relacionadas
Sumário
- Grandezas Escalares e Vetoriais
- Vetores
- Adição de Vetores
i. Vetores de mesma direção
ii. Regra do Paralelogramo
- Multiplicação de um Vetor por um Número
i. Oposto de um Vetor
- Subtração de vetores


