Equações da reta

Equações da reta

1. Forma coeficiente angular-ponto

Suponha que a reta r passa pelo ponto A (x₁; y₁) e tem coeficiente angular m.

Se P (x; y) é um ponto sobre r , temos:

m =

m =

E multiplicando em cruz obtemos:

y - y₁ = m (x - x₁)

Exemplo

Vamos escrever a equação da reta que passa pelo ponto A (1; -2) e tem coeficiente angular -.

Na equação

y - y₁ = m (x - x₁)

substituímos m por - , y₁ por -2 e x₁ por 1.

y - y₁ = m (x - x₁)

y - (-2)  =

y + 2 = - x +

y = - x + - 2 

y = - x

A equação desejada é y = - x - 1.

2. Forma coeficiente angular-intercepto

Suponha que a reta r tem para intercepto-y o ponto A (0; b) e que seu coeficiente angular seja m.

Podemos escrever uma equação da reta r substituindo na forma coeficiente angular-ponto, y₁ por b e x₁ por 0.

y - y₁ = m (x - x₁)

y - b = m (x - 0)

y - b = mx

y = mx + b

Exemplo

Vamos escrever a equação da reta que tem coeficiente angular -2 e intercepto-y (0; 2).

Na equação

y = m x + b

Substituímos m por -2 e b por 2.

y = m x + b

y = -2 x + 2

A equação desejada é y = - 2 x + 2.

3. Forma geral da equação da reta

No exemplo dado acima, a reta r tem coeficiente angular -2 e intercepto-y (0 ; 2).

Usando a forma coeficiente angular-intercepto

y = m x + b

obtivemos para a reta a equação

y = -2 x + 2                   (1)

Se usarmos a forma coeficiente angular-ponto

y - y_{1= m (x - x1)}

y - 2 = -2 (x - 0)             (2)

é claro que a equação (2) se transforma na equação (1):

Então, uma equação linear como y - 2 = - 2 x pode ser escrita em outras formas equivalentes. Em particular, "passando -2 x para o 1º membro da equação" chegamos a

2 x + y = 2

que é um exemplo de equação geral da reta.

Diz-se que a equação geral define y implicitamente em função de x, se b ≠ 0. Note que temos as seguintes formas equivalentes:

ax + by = c ¬ forma implícita

by = -ax + c

Exemplo

Se a equação geral de uma reta r é -4 x + 2 y - 5 = 0, podemos escrevê-la na forma coeficiente-intercepto (explícita):

- 4x + 2y - 5 = 0

2y = 4x + 5

y = 2x + Fórmula coeficiente angular-intercepto

O coeficiente angular é m = 2 e o intercepto-y é

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