Equação Algébrica

Equações Algébricas 

Uma equação algébrica ou polinomial é a equação do tipo p( x ) = 0

Teorema: se um número complexo é raiz de uma equação polinomial, então o seu conjugado também é raiz desta equação e com mesma multiplicidade.

Teorema Fundamental da Álgebra

Toda a equação polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa.

Multiplicidade de Raízes

Dizemos que x₀ é raiz de multiplicidade 2 quando x₀ é raiz duas vezes. Se o x₀ é raiz tripla dizemos que x₀ é raiz de multiplicidade 3, etc…

Relações de Girard

Equação de 3º grau: sejam r₁, r₂, r₃, as raízes da equação ax³ + bx² + cx + d = 0

r₁ + r₂ + r₃ = -

r₁ . r₂ + r₁ . r₃ + r₂ . r₃ =

r₁ . r₂ . r₃ =

Exemplos

Sejam x₁, x₂, x₃ as raízes da equação 2 x³ + 4x² - 5x + 8; escrever as relações de Girard:

x₁ + x₂ + x₃ =

x₁ . x₂ + x₁ . x₃ + x₂ . x₃ =

x₁ . x₂ . x₃ = -

Pesquisa de raízes racionais

Seja a equação a_nx^n-1 + a_n+1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a_0.

Dizemos que as prováveis raízes racionais desta equação pertencem ao conjunto dos números ∈ com p, q ∈ Z* onde p ∈ divisores a₀ e q ∈ divisores de a_n.

Exemplo

Resolver a equação x³ - 7x + 6 = 0.

p/q = 1, 2, 3, 6, são as possíveis raízes.

Devemos verificar qual ou quais desses valores é (são) raízes de P(x). No caso P(1), P(-3) e P(2) são nulos logo x₁ = 1, x₂ = -3, x₃ = 2 são as raízes do polinômio.

Avalie a aula